Différentielle d'une application

Merci pour ta réponse, remarque. Cependant, je me rends compte que je suis complètement perdu. Mon raisonnement n'a pas de sens. Disons que j'ai un chemin $\Gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to M$ à valeurs dans une variété $M$ et tel que $\Gamma(0)=x\in M$. Si j'ai une application $\nu:M\to N$ entre deux variétés et que je veux connaître la matrice de l'application linéaire $\nu_{\ast_{x}}:T_{x}M\to T_{\nu(x)}N$, je peux le faire en déterminant l'image de chemin. On a \[\dot\Gamma(0)=\sum_{i=1}^{m}\underbrace{\dot\gamma^{i}(0)}_{\in\Bbb R}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\vert_{x}\] où $x^{i}$ est un système de coordonnées locales sur $M$ et $\frac{\partial}{\partial x^{i}}\vert_{x}$ une base de vecteurs tangents en $x$ associée à ce système de coordonnées. Considérons de même un système de coordonnées locales $y^{1},\dots,y^{n}$ sur $N$ associée à une base de vecteurs tangents, etc. On a alors : \[\nu_{\ast_{x}}(\dot\Gamma(0))=\sum_{i=1}^{m}\dot\gamma^{i}(0)\nu_{\ast_{x}}\left(\frac{\partial}{\partial x^{i}}\vert_{x}\right)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\dot\gamma^{i}(0)\nu_{ij}\frac{\partial}{\partial y^{j}}\vert_{\nu(x)}\] où $\nu_{ij}$ sont les coefficients de la matrice recherchée. Mais comment utiliser cette description en termes de chemin. Si j'ai un chemin $\Sigma:(-\epsilon,\epsilon)\to N$ tel que $\Sigma(0)=\nu(x)$, alors de manière similaire \[\dot\Sigma(0)=\sum_{j=1}^{n}\dot\sigma^{i}(0)\frac{\partial}{\partial y^{j}}\vert_{\nu(x)}\] Mais comment déterminer la matrice ? J'imagine qu'il faut regarder le chemin $s\mapsto\nu(\Gamma(s))$ dans $N$. Mais tout ceci demande évidemment de connaître les coordonnées des chemins dans les bases des espaces tangents respectifs.

Dans mon problème initial, $s\mapsto \Gamma(s)=e^{i\gamma(s)}$ donne $\dot\Gamma(0)=i\dot\gamma(0)e^{i\gamma(0)}$ et n'importe quel chemin $e^{i\xi(s)}$ passant par $e^{i\gamma(0)}=x$ sera du type $i\dot\xi(0)e^{i\xi(0)}$ dont je déduis que $\dot\Gamma(0)=\dot\gamma(0)c_{x}\frac{\partial}{\partial t}\vert_{x}$.

Donc ici si je prends le chemin $\Gamma(s)=e^{i(t+s)}$ il passe clairement par $x=e^{it}$ en $0$. Et $\dot\Gamma(0)$ a pour coordonnée $1c_{x}$. Donc \[\nu_{\ast_{x}}\dot\Gamma(0)=c_{x}\nu_{11}\frac{\partial}{\partial \theta}\vert_{\nu(x)}\] D'autre part, \[\nu(\Gamma(s))=(\cos(n(t+s)),\sin(n(t+s)))\] et donc \[\dot{\nu(\Gamma(s))}\vert_{s=0}=n(-\sin(nt),\cos(nt))\] De même, n'importe quel chemin passant par $\nu(x)$ aura pour vecteur tangent en $0$ un vecteur de la forme $\dot\sigma(0)(-\sin(nt),\cos(nt))$ mais rien ne me permet de conclure.

Je ne comprends pas du tout comment on détermine en pratique toutes ces quantités (la base de l'espace tangent, etc.).

Après, ici, je comprends que je peux prendre pour base de $T_{x}S^{1}$ le vecteur $ie^{it}$. La coordonnée de $\dot\Gamma(0)$ dans cette base est $1$. D'autre part, je peux prendre comme base pour $T_{\nu(x)}S^{1}$ le vecteur $(-\sin(nt),\cos(nt))$ et donc la coordonnée de $\dot{\nu(\Gamma(s))}\vert_{s=0}$ dans cette base est $n$, ce qui montre que le déterminant de $\nu_{\ast_{x}}$ est $n>0$ quel que soit $x$.

Merci beaucoup pour ta réponse, remarque, cela m'a éclairé. Cependant, mon problème initial était de déterminer la différentielle de manière générale (en particulier, lorsqu'on n'est pas dans le cas simple où les espaces tangents sont de dimension supérieure). Mon problème venait du fait que je n'étais pas toujours capable de déterminer quel était le vecteur tangent correspondant à la "dérivée partielle" par rapport aux coordonnées locales. De ma compréhension, c'est rarement utile en pratique puisque ce qui nous intéresse, c'est de savoir si cette différentielle est injective, surjective, a un déterminant égal à telle ou telle valeur, ce qui est indépendant du choix de la base.