Intersection de quasi-compacts

David Olivier
David Olivier
dans Topologie
J'ai un exercice dans un livre en anglais qui me demande de montrer qu'une intersection quelconque de parties compact d'un espace topologique est compact.

L'usage en anglais est que compact n'implique pas que l'espace soit séparé, ce mot équivalant donc au français «quasi-compact». Cela correspond aussi à la façon dont le terme est défini dans le livre lui-même (Robert Geroch, Mathematical Physics).

Dans un espace séparé, les parties compactes sont fermées, et il est facile de montrer que l'intersection d'un nombre quelconque (non nul) d'entre elles est compacte. Par contre, dans un espace non séparé, je ne vois pas.

Je peux supposer que l'auteur a oublié de spécifier que l'espace est séparé. Sinon, peut-on montrer qu'une intersection de quasi-compactes est quasi-compacte ?

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone : ton livre a dû laisser trainer cette étourderie fautive. Même 2 quasi compacts peuvent s'intersecter en un non QC. (Prends 2 infinis differents que tu Alexandrof-ajoutes à un espace quelconque)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • David Olivier
    David Olivier
    Merci Christophe.
  • David Olivier
    David Olivier
    Mais ça ne s'arrête pas là!

    L'énoncé remarque ensuite que si l'espace entier est «compact», les complémentaires des parties «compactes» forment une topologie. Soit. Mais il demande ensuite à quelle condition cette nouvelle topologie est identique à la topologie de départ. On a fortement l'impression à ce stade que la réponse attendue est: quand l'espace est séparé (pour que les complémentaires de compacts soient fermés dans la topologie de départ). Mais ça n'a pas de sens, parce qu'on est obligé au départ de supposer que l'espace est séparé, sinon on reste bloqué sur la question de l'intersection de «compacts»!

    Si on peut me confirmer qu'il ne devait pas être très réveillé en écrivant ça...64616
  • christophe c
    christophe c
    Effectivement, ça ressemble à un exercice tapé trop vite**. La parenthèse se sert de l'énoncé faux qu'il demande de prouver de toute façon, donc est invalidée elle-même par la fausseté de l'énoncé. Ca ne retire pas tout un tas de questions qu'on peut se poser, mais l'auteur ne semble en fait pas les envisager.

    ** Ca arrive même de la part des auteurs les plus généreux (sur le forum jadis, j'avais donné l'exemple d'un exo où P.Tauvel demandait de prouver (indirectement) que tous les ultrafiltres sont principaux.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • David Olivier
    David Olivier
    Merci encore. J'aime bien ce livre et suis plus prêt à lui pardonner qu'à d'autres, malgré les erreurs sporadiques.

    Ton auteur à toi (P. Tauvel) ne devait tout simplement pas croire à l'axiome du choix. (D'ailleurs, qui y croit? (:P) )
  • christophe c
    christophe c
    Je pense plutôt qu'il est allée "un peu vite" en inventant son exo. Parfois les auteurs veulent "finir de remplir une page" pour éviter que ça fasse moche le blanc restant et font les choses de tête sans vérifier.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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