complétude

courage
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dans Topologie
Bonsoir
Soit $K$ un corps ultramétrique complet et soit $A$ un affinoide connexe ou un disque ouvert. On note :
$H_{rat}(A) = \{ h = \frac{P}{Q} \in K(X) \mid h\text{ n'a pas de pôles dans }A \}$
et soit $\| h\| = \sup_{x \in A} |h(x)|$ une norme sur $H_{rat}(A)$. Dans mon cours, on parle du complété de $H_{rat}(A)$, mais je ne vois pas pourquoi il n'est pas complet ? Si vous pouvez me donner des indications.
Merci.

Réponses

  • mojojojo
    mojojojo
    Les espaces de polynômes (ou de fractions rationnelles) sont rarement complets. Par exemple dans $[0;1]$ la suite $P_n(x)=1+x+...x^n/n!$ converge uniformément vers l'exponentielle, qui n'est pas un Polynôme. Le même genre de phénomène va se produire ici.

    De façon plus générale un espace vectorielle normé ayant une base (algébrique) de même cardinal que $\mathbf N$ (ce qui est le cas ici) n'est jamais complet. C'est une conséquence du théorème de Baire.
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