complétude
Bonsoir
Soit $K$ un corps ultramétrique complet et soit $A$ un affinoide connexe ou un disque ouvert. On note :
$H_{rat}(A) = \{ h = \frac{P}{Q} \in K(X) \mid h\text{ n'a pas de pôles dans }A \}$
et soit $\| h\| = \sup_{x \in A} |h(x)|$ une norme sur $H_{rat}(A)$. Dans mon cours, on parle du complété de $H_{rat}(A)$, mais je ne vois pas pourquoi il n'est pas complet ? Si vous pouvez me donner des indications.
Merci.
Soit $K$ un corps ultramétrique complet et soit $A$ un affinoide connexe ou un disque ouvert. On note :
$H_{rat}(A) = \{ h = \frac{P}{Q} \in K(X) \mid h\text{ n'a pas de pôles dans }A \}$
et soit $\| h\| = \sup_{x \in A} |h(x)|$ une norme sur $H_{rat}(A)$. Dans mon cours, on parle du complété de $H_{rat}(A)$, mais je ne vois pas pourquoi il n'est pas complet ? Si vous pouvez me donner des indications.
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Réponses
De façon plus générale un espace vectorielle normé ayant une base (algébrique) de même cardinal que $\mathbf N$ (ce qui est le cas ici) n'est jamais complet. C'est une conséquence du théorème de Baire.