fermés emboîtés

Tout de même, je me demande. Si on ajoute l'hypothèse que les diamètres sont bornés, ça ne pourrait pas marcher ?

En fait, si on munit $\mathbb{R}$ de la distance discrète (si $x \neq y$, $d(x, y)$ vaut $1$), le contre-exemple de Poirot reste valable. En effet, un espace muni de la distance discrète est complet, toutes ses parties sont fermées, et celles qui contiennent deux éléments ou plus sont de diamètre $1$. Il faut donc rajouter une hypothèse, et d'ailleurs, je travaille avec des algèbres de Banach. Je serais donc intéressé par une preuve de cet énoncé, ou un contre-exemple : Quelque soient l'espace de banach $E$ et la suite décroissante (pour l'inclusion) $(F_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de fermés non-vides de $E$, $\exists M \in \mathbb{R} : \forall n \in \mathbb{N} : \forall (x, y) \in (F_n)^2 : d(x, y) \le M$ implique $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} F_n \neq \emptyset$. C'est vrai si $E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie (car la suite évoquée est alors une suite de compacts), mais en ce qui concerne les autres cas ?

En réalité, je bloque sur un résultat donné comme étant évident. Soit $A$ une algèbre de Banach, si est $I$ un idéal propre de $A$, la surjection canonique de $A$ vers $A/I$ est de norme $1$. Il est évident qu'il s'agit d'une application linéaire continue dont la norme est majorée par $1$. Mais pourquoi cette norme vaudrait-elle $1$ dans tous les cas ? J'avoue que je ne sais pas, mais je crois pouvoir le prouver si l'énoncé que j'ai proposé est vrai.

Je n'avais pas vu le dernier message avant d'envoyer le mien. Ainsi, dans un espace métrique, même complet, une suite décroissante de parties bornées, fermées et non vides peut avoir une intersection vide, même si ce sont des parties convexes d'un espace vectoriel normé. Vous avez sans doute un exemple Chaurien ? ça m'intéresserait.

Ok, merci pour les réponses et la référence. Quant problème d'origine que j'ai évoqué, je pense pouvoir facilement lui trouver une solution. Si j'avais réfléchi deux secondes de plus, je me serais rendu compte que le résultat que je voulais est inutile. Donc au final, tout est réglé.