Séparation de points

Bonjour,

J'aimerais trouver la preuve de cette propriété : Pour tout compact $K$, L'espace des fonctions continues de $K$ vers $\mathbb{R}$ sépare les points de $K$. Je l'ai vue énoncée dans un cours sur PDF. Ce cours montre que c'est assez évident pour les compacts disposant d'une métrique, et demande d'admettre que c'est vrai pour les autres compacts. Par ailleurs, j'ai vu une preuve dans un autre cours qui utilise cette même propriété (sans l'énoncer, et encore moins en la justifiant), et l'utilise sur un compact quelconque. Ne réussissant pas à voir comment ça peut se vérifier, je me trouve assez contrarié... Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plaît, en me suggérant une idée, ou en m'indiquant où je pourrais trouver une preuve ?