Union finie de parties séparées

paul.vand · July 2017

On entend souvent qu'une union finie de parties compactes est compacte. C'est certain, quand il s'agit de parties d'un espace séparé. En effet, il est évident que les unions finies de parties quasi-compactes sont quasi-compactes, et compact équivaut à quasi-compact pour les espaces séparés. Mais qu'en est-il lorsque l'espace n'est pas séparé ? Les unions finies de parties compactes sont-elles toujours compactes ? Ou plutôt, puisque le problème se réduit facilement : Les unions de parties séparées sont-elles toujours séparées ? J'avoue que je ne réussis ni à le montrer, ni à trouver de contre-exemples.

Poirot · July 2017

Je ne sais pas pour l'union de parties séparées, mais en tout cas une union finie de compacts est toujours séparée.

On prend deux points dans l'union de nos compacts $(K_i)_i$. S'ils sont dans un même compact $K_j$, on peut les séparer par deux ouverts disjoints de $K_j$, donc de la forme $O_1 \cap K_j$ et $O_2 \cap K_j$ avec $O_1, O_2$ ouverts dans l'espace ambiant. Mais ces ouverts de $K_j$ sont également ouverts dans $\cup_i K_i$ car $O_k \cap K_j = O_k \cap (\cap_{i \not = j} K_i^c) \cap \cup_i K_i$ et $\cap_{i \not = j} K_i^c$ est également ouvert.

Sinon, disons si $x \in K_1$ et $y \in K_2$ avec $K_1 \not = K_2$ et $x, y \not \in K_1 \cap K_2$ il suffit de remarquer que $K_1 \setminus (K_1 \cap K_2)$ est un ouvert de notre réunion, de même pour $K_2 \setminus (K_1 \cap K_2)$. En effet, $K_1 = \bigcup_i K_i \cap (\cap_{i \not = 1} K_i^c)$ et $K_1 \cap K_2 = K_1 \cap K_2 \cap (\cup_i K_i)$ est un fermé de $\bigcup_i K_i$.

Dans tous les cas, on a séparé nos deux points par deux ouverts disjoints. :-)

Poirot · July 2017

Pour l'union de parties séparées c'est faux, même pour l'union de deux telles parties.

On considère $E=\{a, b\}$ muni de la topologie grossière $\{\emptyset, E\}$. Alors les parties $\{a\}$ et $\{b\}$ sont séparées, mais par leur union.

paul.vand · July 2017

Merci Poirot, c'est la deuxième fois que vous me répondez très rapidement. J'ai assez honte de ne pas avoir trouvé moi-même de contres-exemples... A ma décharge, j'avoue que je n'en ai pas vraiment cherché non plus, estimant que ce serait un peu trop compliqué pour moi. Il reste tout de même un problème : Pourquoi $\bigcap_{i \neq j} K_i^c$ serait-il ouvert ? En effet, un compact n'est pas forcément fermé, bien que ce soit toujours le cas dans les espaces séparés. Par exemple, si $E$ contient plusieurs éléments dont $x$, $\{x\}$ est compact sans être fermé pour la topologie $\{ \emptyset, E\}$.

Poirot · July 2017

Hum dans ce cas ma démonstration ne fonctionne pas... J'avais oublié ce détail. Désolé.

D'ailleurs mon contre-exemple au cas séparé fournit également un contre-exemple pour l'union de compacts !

paul.vand · July 2017

Je n'avais même pas remarqué que j'avais mal réduit le problème. Pour répondre à ma première question, il s'agit bien sûr de s'assurer qu'une union finie de compacts est séparée.

paul.vand · July 2017

Effectivement ! Je n'avais pas vu que le contre-exemple réglait tout. Ainsi, on ne peut pas se passer de l'hypothèse selon laquelle l'espace est séparé. Peut-être qu'une moins forte suffirait, mais je n'en chercherai pas maintenant.