Union finie de parties séparées
On entend souvent qu'une union finie de parties compactes est compacte. C'est certain, quand il s'agit de parties d'un espace séparé. En effet, il est évident que les unions finies de parties quasi-compactes sont quasi-compactes, et compact équivaut à quasi-compact pour les espaces séparés. Mais qu'en est-il lorsque l'espace n'est pas séparé ? Les unions finies de parties compactes sont-elles toujours compactes ? Ou plutôt, puisque le problème se réduit facilement : Les unions de parties séparées sont-elles toujours séparées ? J'avoue que je ne réussis ni à le montrer, ni à trouver de contre-exemples.
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Réponses
On prend deux points dans l'union de nos compacts $(K_i)_i$. S'ils sont dans un même compact $K_j$, on peut les séparer par deux ouverts disjoints de $K_j$, donc de la forme $O_1 \cap K_j$ et $O_2 \cap K_j$ avec $O_1, O_2$ ouverts dans l'espace ambiant. Mais ces ouverts de $K_j$ sont également ouverts dans $\cup_i K_i$ car $O_k \cap K_j = O_k \cap (\cap_{i \not = j} K_i^c) \cap \cup_i K_i$ et $\cap_{i \not = j} K_i^c$ est également ouvert.
Sinon, disons si $x \in K_1$ et $y \in K_2$ avec $K_1 \not = K_2$ et $x, y \not \in K_1 \cap K_2$ il suffit de remarquer que $K_1 \setminus (K_1 \cap K_2)$ est un ouvert de notre réunion, de même pour $K_2 \setminus (K_1 \cap K_2)$. En effet, $K_1 = \bigcup_i K_i \cap (\cap_{i \not = 1} K_i^c)$ et $K_1 \cap K_2 = K_1 \cap K_2 \cap (\cup_i K_i)$ est un fermé de $\bigcup_i K_i$.
Dans tous les cas, on a séparé nos deux points par deux ouverts disjoints. :-)
On considère $E=\{a, b\}$ muni de la topologie grossière $\{\emptyset, E\}$. Alors les parties $\{a\}$ et $\{b\}$ sont séparées, mais par leur union.
D'ailleurs mon contre-exemple au cas séparé fournit également un contre-exemple pour l'union de compacts !