axiomes de la topologie

En effet il y a redondance, techniquement on n'a pas besoin de l'axiome disant que $X$ est un élément de la topologie. On n'a même pas besoin de préciser que le vide est dans la topologie, ça découle aussi de l'axiome concernant l'union d'ouverts.

Ce n'est pas une convention, c'est bel et bien une égalité. L'ensemble vide est un ensemble comme un autre, si on applique les axiomes de ZF, c'est un théorème que $\bigcap_{i \in \emptyset} X_i = X$.

@Poirot: Dans ZF, tu ne peux pas privilégier $X_i \subseteq X$ par rapport à $X_i \subseteq Y$ pour un autre ensemble $Y$ qui contient $X_i$, donc je vois mal comment tu peux obtenir ce théorème.

@Poirot : pas du tout, $\cap X = \{x\in \cup X\mid \forall y\in X, x\in y\}$ par definition, or $\cup\emptyset = \emptyset$ donc $\cap \emptyset = \emptyset$ par définition.
Comme le dit Alesha, tu ne peux pas privilégier $X_i\subset X$.

Je precise que $\cup X = \{ x\mid \exists y\in X, x\in y\}$, qui est un ensemble dont l'existence est donnée par l'axiome de la réunion. $\displaystyle\bigcup_{i\in I} X_i $ est par définition $\cup\{X_i, i\in I\}$, et similairement $\displaystyle\cap_{i\in I} X_i = \cap\{X_i, i\in I\}$

@GBZM : Oui, la borne inférieure de l'ensemble vide dans $\mathcal{P}(X)$ est $X$, comme dans tout treillis complet la borne inférieure de l'ensemble vide est le maximum. Seulement, ici on parlait d'intersection ensembliste, et pas de borne inférieure. Seulement, l'enoncé "Une intersection vide vaut $X$" est faux. C'est pourquoi je parle de convention si on utilise la notation $\cap$ (la notation $\land$ est plus adaptée pour "borne inférieure")

(C'est la convention d'interpréter l'intersection comme borne inférieure alors qu'en général elle ne l'est pas)

@GBZM : oui ("tout est convention") mais c'est la définition usuelle d'intersection dans le cas général. De même on pourrait utiliser $\cup$ pour la bone sup même si dans certains cas cela ne coïncide pas, mais ce serait inutilement embrouillant.

Ta remarque est juste mais même l'enoncé "L'intersection vide de sous-ensembles de $X$ est $X$" est faux sauf quand $X=\emptyset$, dans la définition générale d'intersection. Des énoncés plus justes seraient "La borne inf de l'ensemble vide dans $\mathcal{P}(X)$ est $X$", ou si tu veux absolument parler d'intersection "L'intersection dans $X$ d'un ensemble vide de sous-ensembles de $X$ est $X$", où "l'intersection dans $X$" correspond à ta définition.

@GBZM : les deux bofs sont liés :-D

On fait de même avec l'union.

@eraste : La réponse "mathématique" à ta question est la suivante (en gros je ne prends pas parti dans ce qui suit, je donne juste les arguments):

$\mathcal{P}(X)$ est un treillis complet pour la relation d'ordre $\subset$. En général, pour une famille $(X_i)$ de sous-ensembles de $X$, leur intersection est égale à leur borne inférieure dans ce treillis. Lorsque l'ensemble d'indices $I$ est vide, la borne inférieure est $X$ entier. En "prolongeant l'intersection à la famille vide, on peut donc poser $\displaystyle\cap_{i\in \emptyset} X_i = X$, faisant ainsi de l'axiome $X\in T$ une supposition redondante.

Cependant, cette "prolongation" de l'intersection ne coïncide pas avec la définition "universelle" (c'est-à-dire la définition ne dépendant pas de $X$) d'une intersection vide : $\cap\emptyset$. En effet pour tout ensemble $X$, on peut définir $\cap X$ comme un sous-ensemble de $\cup X$, et c'est en général la définition adoptée. Comme $\displaystyle\cup_{i\in \emptyset} X_i = \cup\emptyset =\emptyset$, on en déduit que dans cette définition "universelle", $\cap \emptyset = \emptyset$. C'est pour ça que je parlais de convention.

Un argument en faveur de "ce n'est pas une convention" est celui que donne GBZM à savoir : on ne définit pas une intersection d'ensembles dans l'absolu, mais on définit "l'intersection de sous-ensembles de $X$" pour un $X$ fixé, auquel cas $\cap_X E := \{x\in X\mid \forall y\in E, x\in y\}$ (je mets un $X$ en indice car ça dépend évidemment de $X$), et $\cap_X E\neq \cap E$ en général (où je note $\cap E$ ce que j'ai précisé avant). Ce que GBZM dit, c'est que $X$ étant fixé, on peut lâcher l'indice $X$.

Je n'ai jamais fait de logique à mon grand regret mais je ne vois pas ce qui est faux.

@L'Axone du Choix
Tu voulais sans doute dire $X\in T$.

Ah j'ai oublié le et correcte. Merci.