adjoints d'opérateurs compacts

Je te laisse juger de la simplicité(ou non.).

EXERCICE
Dans un espace de Hilbert c'est plus simple que dans un Banach.


Soit $x_n$ convergeant faiblement vers $0$ et $T$ un opérateur compact.

La suite $x_n$ est bornée donc $T^*x_n$ l'est aussi et l'on peut donc extraire une sous suite faiblement convergente, qu'on notera encore $T^*x_n$ pour alléger les indices. Disons que $T^*x_n$ converge faiblement vers $l$ et posons $y_n=T^*x_n-l$. La suite $y_n$ converge faiblement vers $0$, on a alors :
$$\langle T^*x_n , y_n \rangle=\|T^*x_{n}\|^2-\langle T^*x_n , l \rangle=\|T^*x_{n}\|^2-\langle x_n , T l \rangle$$
mais aussi $\langle T^*x_n , y_n \rangle=\langle x_n , T y_n \rangle$, qui converge vers $0$, par compacité de $T$. Puisque $\langle x_n, Tl\rangle$ converge vers $0$ on en déduit que $\|T^*x_n\|^2$ converge vers $0$.

On conclut avec le lemme qui dit que si de toute sous suite on peut extraire une sous sous suite convergeant vers $l$ alors la suite de départ converge aussi vers $l$.



Ce n'est pas encore "évident" mais je pense qu'il existe des démonstration plus simples que ça (dans le cas d'un Hilbert).