Gelfand chez les stellaires commutatives
Bonjour,
Je me suis bien cassé la tête, mais je n'ai pas réussi à trouver la preuve d'une proposition... La voici. Pour : $A$ une algèbre stellaire commutative, notant $B$ son spectre (l'ensemble des homomorphismes d'algèbres non-nuls de $A$ vers $\mathbb{C}$). La représentation de Gelfand $f$ de $A$ est une isométrie et un isomorphisme d'algèbres de $A$ vers $C_{0}(B)$ qui conserve l'involution (pour tout $(x, \omega) \in A \times B$, $\omega(x^{*})$ est le conjugué complexe de $\omega(x)$). En fait, j'aurais juste besoin de vérifier la conservation de l'involution, et il suffit de s'en assurer pour les hermitiens. Je dispose d'une preuve pour $A$ unitale, mais je ne réussis pas à la généraliser. J'ai essayé de faire une adjonction de l'unité, selon la méthode classique, mais il y a un problème : Il n'y qu'une seule manière de prolonger l'involution, et a priori, ça n'en fait pas une algèbre stellaire (La norme de $x^{*}x$ a peu de chance de valoir le carré de celle de $x$ pour tous les $x$ de l'algèbre unitale obtenue). J'ai espéré pouvoir contourner ce problème, mais au bout d'un moment, ça bloque méchamment. Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plaît ?
Je me suis bien cassé la tête, mais je n'ai pas réussi à trouver la preuve d'une proposition... La voici. Pour : $A$ une algèbre stellaire commutative, notant $B$ son spectre (l'ensemble des homomorphismes d'algèbres non-nuls de $A$ vers $\mathbb{C}$). La représentation de Gelfand $f$ de $A$ est une isométrie et un isomorphisme d'algèbres de $A$ vers $C_{0}(B)$ qui conserve l'involution (pour tout $(x, \omega) \in A \times B$, $\omega(x^{*})$ est le conjugué complexe de $\omega(x)$). En fait, j'aurais juste besoin de vérifier la conservation de l'involution, et il suffit de s'en assurer pour les hermitiens. Je dispose d'une preuve pour $A$ unitale, mais je ne réussis pas à la généraliser. J'ai essayé de faire une adjonction de l'unité, selon la méthode classique, mais il y a un problème : Il n'y qu'une seule manière de prolonger l'involution, et a priori, ça n'en fait pas une algèbre stellaire (La norme de $x^{*}x$ a peu de chance de valoir le carré de celle de $x$ pour tous les $x$ de l'algèbre unitale obtenue). J'ai espéré pouvoir contourner ce problème, mais au bout d'un moment, ça bloque méchamment. Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plaît ?
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Réponses
Dans ces notes, il est précisé que sur $\tilde{A} := A \oplus \mathbb{C}$, il faut mettre la norme donnée par $\Vert x \oplus \alpha \Vert := \sup_{y \in A, \Vert y \Vert\leq 1} \Vert xy + \alpha y \Vert$, et que ça fait de $\tilde{A}$ une algèbre stellaire.
Si c'est une autre norme que tu as voulu mettre, alors c'est normal que ça n'ait pas donné une norme d'algèbre stellaire, car il y a un théorème qui dit que sur une algèbre involutive, il n'y a qu'une seule norme qui en fasse une algèbre stellaire.