Différentes limites en topologie.

Ottman · July 2017

Bonsoir,
En lisant un peu mes livres de topologie je découvre qu'ils ont des définitions differentes en ce qui concerne la notion de limite
Pour dire qu'une limite de f en a est L l'un dit : (ou f de E dans F)
*Pour tout voisinage V de L il existe un voisinage U de a tel que f(U) inclus dans V
Et l'autre :
* pour tout voisinage V de L f^(-1)(V) union {a} est un voisinage de a
Donc je note f^(-1) pour l'image réciproque de f à sa restriction à E\{a} dans F
Je ne l'ai pas démontré mais je pense que ces deux definitions ne sont pas vraiment équivalentes.
Est-ce que c'est le même probleme que dans le cas des réels entre limite pointée et épointée ?

GaBuZoMeu · July 2017

La première définition équivaut à dire que pour tout voisinage $V$ de $L$, $f^{-1}(V)$ est un voisinage de $a$. La formulation même de la deuxième définition montre bien à mon avis le ridicule de cette définition de "limite épointée", surtout dans le contexte de la topologie générale.

Ottman · July 2017

Je vois pourtant à mes yeux(de profane) la definition épointée me semble plus solide je me trompe ? Car je peine a imaginer que la fonction qui vaut 0 sauf en 0 ou elle vaut 1 n'admet pas de limite en 0

Chalk · July 2017

C'est une opinion donc difficile de dire que tu te trompes. A titre personnel je trouve la définition de limite épointée mauvaise, elle alourdit l'énoncé de plein de théorèmes (sujet maintes fois abordées ici). Et en plus la limite épointée peut se voir comme un simple cas particulier de la limite (il suffit de restreindre le domaine de définition de la fonction), l'inverse n'étant pas vrai.

Donc non d'après moi au contraire la définition de limite épointée est très légère.

Différentes limites en topologie.

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