Exercice topologie compacte-ouverte
Bonjour,
je suis en train d'étudier la topologie algébrique à travers plusieurs ouvrages, dont le fameux poly de F. Paulin.
J'ai découvert avoir une ou deux lacunes parmi les pré-requis de topologie générale (annexe A), dont la topologie compacte-ouverte, et me suis attaqué à l'exercice E.A. 107.
Les deux premières questions ne m'ont pas posé de gros problèmes, mais je cale sur la troisième question: montrer que la topologie compacte-ouverte sur $\mathcal{C}(X, Y)$ est la seule topologie pour laquelle l'application:
$\mathcal{C}(Z \times X, Y) \rightarrow \mathcal{C}(Z, \mathcal{C}(X, Y))$
$ f \mapsto \{z \mapsto f_z : x \mapsto f(z, x)\}$
est une bijections quelle que soit la topologie définie sur Z
Je me suis dit que ça revenait à montrer que si la fonction en question est une bijection, alors la topologie $\mathcal{T}$ sur $\mathcal{C}(X, Y)$ est nécessairement équivalente à la topologie compacte-ouverte, et donc me proposais de montrer que tout ouvert élémentaire
$O(K,U) = \{ f \in \mathcal{C}(X,Y) : f(K) \subset U \}$, K compact de X, U ouvert de Y est un ouvert de $\mathcal{T}$ (i.e. la topologie $\mathcal{T}$ est plus fine que compacte-ouverte) et inversement.
Ma reformulation est elle satisfaisante?
Le chemin que je me propose a-t-il une chance d'aboutir?
D'autre part, pour trouver un chemin vers ce but, je coince sur un point laissé implicite dans l'énoncé:
les topologie sur les espaces $\mathcal{C}(Z \times X, Y)$ et $\mathcal{C}(Z, \mathcal{C}(X, Y))$ doivent elles être supposée compacte-ouverte ou quelconque?
Merci d'avance pour vos éclairages
je suis en train d'étudier la topologie algébrique à travers plusieurs ouvrages, dont le fameux poly de F. Paulin.
J'ai découvert avoir une ou deux lacunes parmi les pré-requis de topologie générale (annexe A), dont la topologie compacte-ouverte, et me suis attaqué à l'exercice E.A. 107.
Les deux premières questions ne m'ont pas posé de gros problèmes, mais je cale sur la troisième question: montrer que la topologie compacte-ouverte sur $\mathcal{C}(X, Y)$ est la seule topologie pour laquelle l'application:
$\mathcal{C}(Z \times X, Y) \rightarrow \mathcal{C}(Z, \mathcal{C}(X, Y))$
$ f \mapsto \{z \mapsto f_z : x \mapsto f(z, x)\}$
est une bijections quelle que soit la topologie définie sur Z
Je me suis dit que ça revenait à montrer que si la fonction en question est une bijection, alors la topologie $\mathcal{T}$ sur $\mathcal{C}(X, Y)$ est nécessairement équivalente à la topologie compacte-ouverte, et donc me proposais de montrer que tout ouvert élémentaire
$O(K,U) = \{ f \in \mathcal{C}(X,Y) : f(K) \subset U \}$, K compact de X, U ouvert de Y est un ouvert de $\mathcal{T}$ (i.e. la topologie $\mathcal{T}$ est plus fine que compacte-ouverte) et inversement.
Ma reformulation est elle satisfaisante?
Le chemin que je me propose a-t-il une chance d'aboutir?
D'autre part, pour trouver un chemin vers ce but, je coince sur un point laissé implicite dans l'énoncé:
les topologie sur les espaces $\mathcal{C}(Z \times X, Y)$ et $\mathcal{C}(Z, \mathcal{C}(X, Y))$ doivent elles être supposée compacte-ouverte ou quelconque?
Merci d'avance pour vos éclairages
Réponses
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La question m'intéresse, comme je viens moi aussi d'étudier (brièvement) la topologie compacte-ouverte. Malheureusement, je suis actuellement en vacances, donc je n'ai le temps pour rien
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Bonjour à tous
Après deux ans par rapport à cette conversation je suis également tombé sur ce sujet. J'ai en effet eu la même approche en revanche quand on va sur le net pour trouver réconfort on parle d'emblée de catégories ( sujet que je ne maîtrise pas) et du coup je reste toujours avec quelques doutes sur mon approche. Si qqn pouvait éclairer ça serait bien. -
Déjà il s'agirait de clarifier un point : sur $C(Z\times X,Y)$ et $C(Z,C(X,Y))$ on ne met pas de topologie puisqu'on parle de bijections. En particulier, il serait bon d'avoir une notation distincte. Je vais dire que $\hom(A,B)$ c'est l'ensemble des applications continues $A\to B$, et $C(A,B)$ cet ensemble muni de la topologie compact-ouverte.
Pour répondre à la question, il y a deux étapes :
La première est de se convaincre que la topologie compact-ouverte vérifie bien la propriété en question, i.e. qu'on a bien $\hom(Z\times X, Y)\cong \hom(Z,C(X,Y))$ via l'application décrite.
C'est là qu'il y aura de la topologie. D'ailleurs je pense que c'est faux, et qu'il faut supposer $X$ localement compact. Est-ce que déjà ce point là est clair, ou est-ce que tu as des problèmes pour ça ?
La deuxième étape est de conclure. La raison pour laquelle les sources que tu as vues utilises la théorie des catégories est qu'une fois qu'on a vérifié le point précédent, la suite n'a plus rien à voir avec la topologie et c'est purement formel. Je pourrai t'expliquer après, sans catégories; mais déjà il faut voir si le premier point te pose problème. -
Merci Maxtimax
Pas de soucis pour le premier cas c'est très clair. C'est vraiment quand il faut montrer que la seule topologie permettant la bijection est la topologie compacte ouverte. -
Ok très bien !
Bon dans cas, appelons $D(X,Y)$ une deuxième topologie sur $\hom(X,Y)$ qui vérifie la même propriété.
Peux-tu appliquer cette propriété à $Z= C(X,Y)$ ?
Puis, appliquer la propriété de $C(X,Y)$ à $Z=D(X,Y)$ ? -
si je comprends correctement ta question quand j'applique à Z= C (X,Y) ça marche car X est localement compacte. Mais je n'y arrive pas dans l autre sens. Cela suppose que je comprends ce que tu veux me faire deviner. Le fait que je n'y arrive pas ne veut pas dire que je l ai prouvé d'où mon malaise.
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Qu'est-ce qui "marche" ici ?
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Pardon je n'ai pas été clair. La topologie compacte ouverte répond bien au problème (l'homeomorphisme )
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Attend il ya peut-être un malentendu on est bien d'accord la topologie de Z est quelconque. Ok ?
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J'ai bien compris que tu avais compris que la topologie compact-ouvert répondait au problème, ce n'est pas ce que je disais.
Puisqu'elle répond au problème, tu peux en particulier appliquer la propriété à $Z= D(X,Y)$, où $D(X,Y)$ est l'ensemble $\hom(X,Y)$ muni d'une topologie quelconque, n'est-ce pas ? -
Oui ok je n 'avais en effet pas saisi ta question.
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Merci. Je suis parti probablement dans un délire mais en utilisant tes recommandations on trouve en effet qu'il faut assurer la continuité entre C(X,Y) et D(X,Y) du coup il faut que la topologie de C(X,Y) soit plus fine que la topologie D(X,Y) d'une part et il faut par ailleurs assurer l'inverse. Mais j'ai l'impression que tu veux me faire deviner qqch de plus évident.
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Est-ce que tu peux écrire explicitement (ici sur le forum) la propriété en question, où tu as remplacé $Z$ par $D(X,Y)$ ?
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La continuité entre D(X,Y) et C(X,Y) donne pour moi le fait la topologie C(X,Y) est contenue dans celle de D(X,Y). Et un raisonnement plus alambiqué mais relativement simple on démontre l'inégalité inverse ( et cest la où je suis obligé de réutiliser la topologie) mais j'ai bien conscience qu'il y a probablement plus simple.
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Bah le même raisonnement donne l'inégalité inverse en fait donc je ne vois pas quel raisonnement plus alambiqué tu as pu faire :-S
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Merci Maxtimax. En fait ce qui m'a perturbé ce sont les explications utilisant les notions des catégories. On a l'impression que c'est magique. Du coup avec ma méthode" à la main" j'avais l'impression d'utiliser un tracteur là où une bicyclette suffit. Je serais intéressé à l'occasion d'une explication avec les notions des catégories, je m'y intéresse très humblement.
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La version catégorique c'est simplement de dire que la deuxième partie de ce qu'on a fait n'a rien de topologique.
En fait si tu as deux espaces $A,B$ tels que $\hom(Z,A)\cong \hom(Z,B)$, naturellement en $Z$ (cette condition est automatiquement vérifiée ici, vu la définition des bijections), alors $A\cong B$, et on sait précisément quel est l'homéomorphisme : c'est l'image de $id_A$ par $\hom(A,A)\cong \hom(A,B)$.
Il en découle ici que l'identité de $D(X,Y)\to C(X,Y)$ est un homéomorphisme, i.e. que les deux topologies sont les mêmes.
Le résultat en question est vrai pour n'importe quelle catégorie, c'est "simplement" le lemme de Yoneda (qui est extrêmement simple à prouver une fois qu'on comprend tout ce qui est en jeu; mais c'est très facile de s'embrouiller en le prouvant aussi vu les notations) -
Merci beaucoup. Ça va me servir de fil conducteur.
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