Valeur d'adhérence
Salut,
Soient $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite d'éléments d'un espace topologique $E$ et $a\in E$. On note, pour tout $n\in\mathbb N, X_n=\{x_k|k\geq n\}$ et $\mathcal V(a)$ l'ensemble des voisinages de $a$. On montre que les assertions suivantes sont équivalentes :
1) $\forall V\in\mathcal V(a),\forall N\in\mathbb N,\exists n\geq N, x_n\in V$ ;
2) $\forall V\in\mathcal V(a),$ l'ensemble $\{n\in\mathbb N|x_n\in V\}$ est infini ;
3) $a\in \bigcap_{n\in\mathbb N}\overline{X_n}$.
Lorsque ces assertions sont vraies, on dit que $a$ est une valeur d'adhérence de $(x_n)_{n\in\mathbb N}$.
Lorsque $E$ est un espace métrique, on aussi l'équivalence avec :
4) Il existe une sous-suite de $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ qui converge vers $a$.
Est-ce que quelqu'un aurait un exemple simple d'espace topologique montrant que 4) n'est pas équivalente à 1)2)3) ?
Merci par avance,
Soient $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite d'éléments d'un espace topologique $E$ et $a\in E$. On note, pour tout $n\in\mathbb N, X_n=\{x_k|k\geq n\}$ et $\mathcal V(a)$ l'ensemble des voisinages de $a$. On montre que les assertions suivantes sont équivalentes :
1) $\forall V\in\mathcal V(a),\forall N\in\mathbb N,\exists n\geq N, x_n\in V$ ;
2) $\forall V\in\mathcal V(a),$ l'ensemble $\{n\in\mathbb N|x_n\in V\}$ est infini ;
3) $a\in \bigcap_{n\in\mathbb N}\overline{X_n}$.
Lorsque ces assertions sont vraies, on dit que $a$ est une valeur d'adhérence de $(x_n)_{n\in\mathbb N}$.
Lorsque $E$ est un espace métrique, on aussi l'équivalence avec :
4) Il existe une sous-suite de $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ qui converge vers $a$.
Est-ce que quelqu'un aurait un exemple simple d'espace topologique montrant que 4) n'est pas équivalente à 1)2)3) ?
Merci par avance,
Réponses
-
Regarde l'espace d'Arens-Fort https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_d'Arens-Fort
(0,0) est une valeur d’adhérence mais n'est pas limite d'aucune sous suiteLe 😄 Farceur -
Conseil: quand tu es dans cette situation, ie que tu cherches un contre-exemple de ce genre, ne considère pas que ton seul salut soit d'aller demander sur un forum (ce n'est pas un reproche, je veux juste t'aider). Tu prends ton énoncé (ici très général) et tu regardes ce qu'il dit. Tu veux une suite et une ou plusieurs valeurs d'adhérence de cette suite, par exemple, sans sous-suite extraite qui tend vers elles. Bin tu fabriques ton contre-exemple "sans inspiration".
Par exemple, tu peux prendre la suite $u:n\mapsto n$ qui va de $\N$ dans $\N$. Puis tu lui ajoutes (un projet de) une valeur d'adhérence (je te décris un projet, attention, je n'ai pas encore la topologie). Par exemple, tu renommes $\N$ par le symbole $\infty$.
Maintenant ton projet c'est juste de faire une topologie sur $E:= \N \cup \{ \infty \}$ qui soit telle que $\infty$ est une valeur d'adhérence de $u$ sans qu'il y ait de sous-suite de $u$ qui tende vers $\infty$.
Je te laisse finir (retiens-toi de lire le lien de gebrane, ça t'aiderait trop). Indication: psychologiquement, plonge-toi dans l'idée qu'aucune topologie sur $E$ ne réalise ton contre-exemple, et jouis de cette fantastique idée si elle était vraie. tu vas voir un contre-exemple tombera tout seul car ce serait trop beau qu'il n'y en ait pas.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Salut à tous je crois que $\{0, 1\}^{P(\mathbb{N})}$ marche aussi.
-
Avec des indicatrices et en jouant sur la parité.
-
En ce qui concerne l'exemple d'Algèbre, voici comment je procède : le sous-ensemble des applications $\mathcal{P}(\mathbb{N}) \rightarrow \{0,1\}$ qui ne valent $1$ que sur un ensemble fini est dense. Mais il est équipotent à $\mathcal{P}(\mathbb{N})$. Et donc, l'ensemble des limites de sous-suites d'éléments de ce sous-ensemble est aussi équipotent à $\mathcal{P}(\mathbb{N})$, et donc il y a beaucoup de points de $\{0,1\}^{\mathcal{P}(\mathbb{N})}$ qui ne sont pas limites de telles sous-suites.
-
Il y a des tas d'exemples qui marchent, mais l'objectif de mon post était de transmettre à HFT une façon non inspirée de chercher tout seul.
Je signale que la chose que je lui ai laissée en exo est quand-même très facile et ne nécessite pas l'axiome du choix [small](aucune partie infinie de IN n'est presque-incluse dans toutes les parties de densité 1 par exemple)[/small]Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Ah cool comme moyen de procéder, moins contructif que ce que j'ai proposé.
-
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1501536,1501806#msg-1501806
C'était juste pour donner de la "culture". -
algèbre a écrit:moins contructif que ce que j'ai proposé
Pourrais-tu préciser parce que j'ai du mal à voir en quoi un maniement de cardinaux, etc, comme l'indique GA, est "plus constructif" que la construction directe que j'ai signalée. Je ne voudrais pas que tu t'imagines que seuls les ultrafiltres ;-) peuvent servir à donner des voisinages à $\infty$, à peu près n'importe quel filtre un peu plus riche que celui de Fréchet suffit :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@cc
excuse mes capacités passables, mais je ne comprends pas ta construction quand tu disais: tu renommes $\N$ par le symbole $\infty$. Maintenant ton projet c'est juste de faire une topologie sur $E:= \N \cup \{ \infty \}$ mais d’après ta "renomination" $E:= \{ \infty \} \cup \{ \infty \}=\{ \infty \}$Le 😄 Farceur -
hello,
$\N=\infty$ et pas $\N = \{ \infty \}$, juste ajoute un symbole $\infty$ à $\N$ comme la compactification de .$\R$ -
Au lieu d'inventer des contre-exemples (activité qui contrairement à ce que dit Christophe C n'a rien d'évident surtout pour un étudiant qui apprend en même temps la topologie) il est beaucoup plus utile d'aller consulter des livres de texte dédiés aux contre-exemples. En Analyse, en topolgie, en probabilités etc.... Dans ce cas-ci un dédié à la topologie fera bien l'affaire.
Je conseille : Counterexamples in Topology - Steen, Seebach - Editions Dover (1995) -
@fliplop
Parler de la compactification de $\R$ est troublant pour un étudiant ordinaire ( c'est mon cas), Je connais deux compactifications de $\R$ (La droite achevée: on ajoute à $\R$ deux élements et compactification d'Alexandroff de $\R$ qui sont differentes)
cc m'a troublé quand il a renommé le $\N$ en $\infty$ pour ajouter ( en reunion) le $\{\infty\}$. Je me demandais pourquoi cc n'a pas pris simplement $E=\N \cup \{\sqrt 2\}$ et construire sa topologie sur E , car il a dit il suffit d'ajouter un objet ( un objet étrange à $\N$)
ou bien il faut prendre $E=\N \cup \{\ +\infty \}$Le 😄 Farceur -
Hello,
Ok pour le la, par contre je ne comprends pas c'est quoi pour toi $\{ + \infty \}$ ?
Dans l'idée, tu prends ce que tu veux (*) comme ensemble,disons $\alpha$, qui n'est pas un élément de $\N$ et tu considères $\N \cup \{ \alpha \}$ et Cc a juste donné un ensemble qui n'est pas dans $\N$.
Remarque : Tu ne peux pas prendre $\emptyset$ comme symbole car $\emptyset \in \N$ ... et si tu veux t'amuser avec des boites contenant des boites contenants des boites vides : peut être que l'on peut prendre comme élément à ajouter $\{ \{ \emptyset \}\}$ ... Bref : $E := \N \cup \{ \{ \{ \emptyset \}\} \}$, je dis peut être des bêtises :-D
(*) Mais c'est surement plus simple de prendre l'exemple de Cc, non ? Il y 'a certainement une autre raison liée aux topologies issues des ordres mais je n'y connais presque rien (je voulais juste te faire remarquer ta confusion entre $\{ \N \}$ et $\N$ rien de plus)... Je laisse Cc répondre sur pourquoi il a pris cet ensemble plutôt que $\sqrt{2}$ ;-) -
De mon téléphone : pour ne pas juste utiliser une lettre neutre sans pour autant avoir du big latex à taper. De plus pas besoin de fonction pour prendre un ensemble en dehors de E: {x de E | x ne est marie as dans x} convient. La plupart du temps c'est E lui même.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1501536,1501958#msg-1501958
Parce que je voulais dire le contraire, désolé. -
Quand c'est pas la gauche et la droite c'est les mots que j'inverse.
-
@flipflop
-j'ai considéré les deux exemples $E=\N \cup \{\sqrt 2\}$ ou $E=\N \cup \{+\infty\}$ pour voir la réaction de cc (car dans le premier on a $\sqrt 2$ n'est limite d'aucune suite d’éléments de $\N$ et pour le deuxième le $+\infty$ est une limite d'une suite d’éléments de $\N$).
-L’écriture $\emptyset \in \N$ me choque: depuis le collège, on nous a averti que $\emptyset \in \mathcal{P}(\N)$
@cc
Voudrais-tu sur Un pc ( si tu as le temps) d'expliquer ta topologie sur $E=\N \cup \{\sqrt 2\}$ et d’exhiber un contre exemple
@Tous
De ma part, quand j'ai réfléchi à donner un contre exemple, je cherchais un espace topologique où on peut trouver une valeur adhérence qui ni limite d'aucune sous-suite, donc je cherchais un espace qui a le défaut de ne pas avoir une base dénombrable de voisinages.Le 😄 Farceur -
Salut Gebrane0,
Je répond juste rapidement.
- pour le $\sqrt{2}$ je pense qu'il faut que tu détypes $\sqrt{2}$ i.e que tu le vois comme un symbole formel ou alors je n'ai pas compris ce que tu veux faire.
- Etant donné un ensemble $A$, rien n'empêche d'avoir $\emptyset \in A$ même si effectivement pour tout ensemble $B$ on a : $\emptyset \in P(B)$. Suffit de prendre $A := \{ \emptyset \}$ !
Ensuite, c'est juste la construction de $\N$ : $$\N := \{ \emptyset, \{\emptyset \}, \{ \emptyset, \{\emptyset \} \}, \{ \emptyset, \{\emptyset \}, \{ \emptyset, \{\emptyset \} \} \} ,\dots \}$$
C'est un peu illisible comme construction, non ? Et surtout ça manque de rigueur complète avec mes $\dots$. Il y a surement des choses a voir mais faut prendre un cours de théorie des ensembles et y'a surement des choses topologiques amusantes ... Mais on s'écarte de la recherche du contre exemple et j'ai pas envie de pourrir le fil de notre ami hftmaths.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 3
+2 Invités