Raccord entre deux fonctions continues

Mettons que j'aie deux espaces topologiques $E$ et $T$, deux parties $A$ et $B$ de $E$, et deux applications continues:

$\phi: A \to T$ et $\psi: B \to T$

qui coïncident sur $A \cap B$, c'est-à-dire telle que $\forall x \in A \cap B,\ \phi(x) = \psi(x)$.

Je peux alors définir $\chi: A \cup B \to E$ prolongement à la fois de $A$ et de $B$ à $A \cup B$, c'est-à-dire tel que:

$\chi(x) = (x \in A)\ ?\ \phi(x)\ \psi(x) = (x \in \ ?\ \psi(x)\ \phi(x)$

Est-ce que ce $\chi$ est alors continu $A \cup B \to T$?

J'ai réussi à le montrer dans le cas $E = \R, A = [0, 1], B = [1, 2]$; c'est-à-dire, où $\chi$ résulte du raccord de $\phi$ et $\psi$ au seul point commun $1$. Par contre, dans le cas général... Je ne suis même pas certain que le résultat (la continuité de $\chi$) soit toujours vrai.

Ma tentative:

J'ai un ouvert $O$ de $T$. Alors:

$V = \phi^\leftarrow(O)$ est un ouvert de $A$, et donc il existe $V'$ ouvert de $E$ tel que $V = V' \cap A$.

$W = \psi^\leftarrow(O)$ est un ouvert de $A$, et donc il existe $W'$ ouvert de $E$ tel que $W = W' \cap A$.

Alors $\chi^\leftarrow(O) = V \cup W$.

Mais comment montrer que $V \cup W$ est un ouvert de $A \cup B$? Il n'est pas toujours vrai que $V$ et $W$ soient séparément des ouverts de $A \cup B$; par exemple, un ouvert de $A = [0, 1]$ contenant $1$ n'est jamais un ouvert de $A \cup B = [0, 2]$.

On peut essayer de calculer $(V' \cup W') \cap (A \cup $, en espérant obtenir $V \cup W$, mais en fait:

$(V' \cup W') \cap (A \cup = (V' \cap A) \cup (W' \cap \cup (V' \cap \cup (W' \cap A) = (V \cup W) \cup (V' \cap \cup (W' \cap A)$

Il faudrait éliminer les deux bouts à la fin, $(V' \cap \cup (W' \cap A)$.

Dans le cas $A = [0, 1], B = [1, 2]$, j'arrive à m'en sortir, mais dans le cas général, je ne vois pas.

Pourquoi je cherche ça:

Dans un texte d'introduction à l'homotopie, dans le passage qui veut montrer la transitivité de la relation d'homotopie entre deux lacets, on me dit que si on a les lacets $\omega \approx \omega'$ et $\omega' \approx \omega''$, avec $\phi: [0, 1] \times [0, \frac 1 2] \to T$ et $\phi': [0, 1] \times [\frac 1 2, 1] \to T$ continus tels que pour tout $t \in [0, 1]$ on a $\phi(0, t) = \omega(t),\ \phi(\frac 1 2, t) = \phi'(\frac 1 2, t) = \omega'(t),\ \phi'(1, t) = \omega''(t)$, alors on obtient un $\phi''$ total en raccordant $\phi$ et $\phi'$; et que ce $\phi''$ est continu. On me dit ça sans démonstration. Je trouve que démonstration il faudrait.