Frontière.

CechLM
CechLM
dans Topologie
Salut à tous !

J'aimerais faire des dessins pour illustrer les formules $Fr(A) = C_{adh(A)} Int(A) = adh(A) \cap adh(C_{E} A)$ et $C_{E} (Fr(A)) = Int(C_{X}(A)) \cup Int(A) $

Mon problème est que dans le $\mathbb{R}^{2}$, ça se joue à rien (souvent à une inégalité large ou stricte) ce qui n'est pas très visuelle.

Je cherche dans $\mathbb{R}^{3}$, je réfléchis à un exemple de partie ni ouverte ni fermée pour faire ressortir la différence avec l'intérieur et l'adhérence, par exemple $[0;1[^{3}$ (pas ouvert voisinage de 0 et pas fermé suite $(1-\frac{1}{n},1-\frac{1}{n},1-\frac{1}{n})$)
Mais c'est pas fou fou !

Avez-vous des beaux dessins s'il vous plaît.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu peux dessiner la frontière de $\Q$ dans $\R$ (avec sa topologie usuelle). ;-)
  • CechLM
    CechLM
    Lol elle est bien garni cette frontière car j'ai trouvé que c'est $\mathbb{R}$
  • CechLM
    CechLM
    On en déduit que l'intérieur des irrationnels est vide d'ailleurs... Bref ça fait un beau dessin selon vous ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je ne sais pas ce que tu appelles un beau dessin.
    Tu peux aussi dessiner l'intérieur, l'adhérence et la frontière de $\Q\cup {]0,+\infty[}$ dans $\R$. Tu verras que ta phrase "ça se joue à rien" est complètement erronée.
  • CechLM
    CechLM
    Un beau dessin c'est un dessin sur lequel tu vois la formule donc tu ne réponds pas à ma question.
  • CechLM
    CechLM
    Et en ce sens la phrase "ça se joue à rien" justifie la question.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Clair comme du jus de chique.
  • CechLM
    CechLM
    :-D
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tiens, petit exercice (facile, avec ce qu'on a vu) : tout fermé de $\R^n$ est la frontière d'une partie de $\R^n$.
  • CechLM
    CechLM
    Comme ce qui a été dit aide alors je fais l'exo adhérence et frontière de $\mathbb{Q}\cup]0;+\infty[$
    Je réfléchis 5 minutes et je comprends que si je prends un fermé de $\mathbb{R}$ de la forme $[a;b]$ alors il s'agit de la frontière de $\mathbb{Q}\cup C_{\mathbb{R}}([a;b])$
    Maintenant faut généraliser, retour à mes réflexions...
    Rapidement je me dis soit F un fermé de $\mathbb{R}^{n}$ il s'agit de trouver un ensemble $A$ dense d'intérieur vide de $\mathbb{R}^{n}$ en fait.
    Puis lorsque je l'aurais trouvé je considère $A\cup C_{\mathbb{R}^{n}} (F)$ et... Ca marche bon ben super maintenant faut trouver $A$ ou prouver qu'il existe, d'abord le trouver je pense à $\mathbb{Q}^{n}$ directement, hum...bon j'ai la flemme de le prouver mais j'ai l'intuition que ça marche pour les mêmes raisons qu'en dimension 1.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    j'ai la flemme de le prouver
    Creuser ça te ferait pourtant progresser plus sûrement que ta recherche de "beau dessin".
  • CechLM
    CechLM
    Je veux vraiment progresser ! J'y réfléchirai :-).
  • CechLM
    CechLM
    Vous me répondez pas à la question...

    Bon j'ai réfléchi pour $\mathbb{Q}^{n}$ et j'ai une idée : Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^{n}$ non vide donc il existe $a$ dans $U$ puis $B_{0}(a,\epsilon) = B $ est inclus dans $U$.
    Soit $p_{i}$ la ième projection de $\mathbb{R}^{n}$ alors $p_{i}(B)=V_{i}$ un intervalle de $\mathbb{R}$ de la forme $]a_{i}-\epsilon ; a_{i}+\epsilon[ $ qui contient au moins un rationnel noté $r_{i}$.
    Considérons $r$ le vecteur $(r_{1},...,r_{n})$ est-ce qu'il appartient à $B$ ? Par construction oui donc $U\cap \mathbb{Q}^{n}$ est non vide d'où le résultat.

    Seul souci c'est $]a_{i}-\epsilon ; a_{i}+\epsilon[ $ vient de mon intuition mais je ne saurais pas vraiment le justifier...
  • CechLM
    CechLM
    Garder votre argent et dessiner moi un mouton (des frontières pardon).
  • gerard0
    gerard0
    Dessine un espace topologique général, avec une de ses parties strictes, je te dessinerai dessus la frontière.

    Cordialement.
  • CechLM
    CechLM
    C'est pas ça que je demande.
  • David Olivier
    David Olivier
    Quand je pense à un ouvert, à sa fermeture, à sa frontière, à un ni-ouvert-ni-fermé et sa frontière, etc. j'ai bien une image dans la tête. Je trouve que ce n'est pas absurde de vouloir faire des dessins représentant ces choses, en gardant à l'esprit évidemment que ça va être une représentation restreinte et qu'il ne faut pas faire trop de raisonnements dessus.

    Je ne dessine pas bien, et ce n'est pas facile de faire de tels dessins.

    Le mieux serait un crayon assez affûté pour que sa pointe soit de rayon zéro. Mais même avec un crayon de rayon strictement positif, je pense qu'on doit arriver à quelque chose. Pour un ensemble ni ouvert ni fermé: j'imagine une patate avec l'intérieur tout clair et transparent et la frontière toute rugueuse, toute crabouillotteuse. Le bord de l'ensemble passe au sein de la frontière (il y a des points dehors, parce que l'ensemble n'est pas fermé; et des points dedans, parce qu'il n'est pas ouvert.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Le bord de l'ensemble passe au sein de la frontière
    Qu'est-ce que ça veut dire ?

    On a tendance à se faire des représentations avec des ensembles pas trop pathologiques, en s'imaginant par exemple qu'une frontière est de dimension plus petite que l'espace ambient.
    J'ai tenté de convaincre dans ce fil que la situation pouvait être beaucoup plus moche que des "jolis dessins"
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 32

BbiduleDomJ-flxSMISethMorleyJuniorm.c1mtho5 +25 Invités