Connexité

Merci, j'ai trouvé :

Soit $A$ une partie d'un espace topologique $(E,\mathcal T)$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1) $A$ est connexe ;
2) $\forall (O_1,O_2)\in\mathcal T^2, (A\subset O_1\cup O_2$ et $A\cap O_1\cap O_2=\emptyset)\implies (A\subset O_1$ ou $A\subset O_2)$.

Pour la démonstration, on montre chacune des deux implications par la contraposée. L'assertion 2) se comprend intuitivement avec des dessins de patates dans le plan.

Toujours sur le même thème, j'ai une autre question. Elle concerne le théorème suivant :

Théorème : soient $A$ une partie connexe d'un espace topologique $(E,\mathcal T)$ et $B$ une partie de $E$ telle que $A\subset B\subset\overline{A}$. Alors $B$ est connexe.

Je n'arrive pas à démontrer ce théorème avec la définition. Voilà comment j'ai commencé : soit $(O_1,O_2)\in\mathcal T^2$ tel que $B\subset O_1\cup O_2$ et $B\cap O_1\cap O_2=\emptyset$. On suppose par l'absurde que $B\not\subset O_1$ et $B\not\subset O_2$.

D'autre part, comme $A\subset B$, on a $A\subset O_1\cup O_2$ et $A\cap O_1\cap O_2=\emptyset$.

Je ne sais pas comment aboutir à $A\not\subset O_1$ et $A\not\subset O_2$, ce qui contredirait la connexité de $A$ et démontrerait donc le théorème. Je pense qu'il faut utiliser $\overline A$ mais je ne sais pas comment.

Merci par avance,

Ça marche :

Soit $(O_1,O_2)\in\mathcal T^2$ tel que $B\subset O_1\cup O_2$ et $B\cap O_1\cap O_2=\emptyset$. Comme $A\subset B$, on a $A\subset O_1\cup O_2$ et $A\cap O_1\cap O_2=\emptyset$ (*). Or $A$ est connexe, donc $A\subset O_1$ ou $A\subset O_2$. Par symétrie, on peut supposer $A\subset O_1$. Montrons que $B\subset O_1$ :
Soit $x\in B$. Alors $x\in\overline{A}$. Si $x\notin O_1$ alors $x\in O_2$ donc $A\cap O_2\neq\emptyset$. Il existe donc $y\in A\cap O_2$. Or $A\subset O_1$ donc $y\in A\cap O_1\cap O_2$, ce qui contredit (*).

Merci !

Effectivement, merci. J'ai souvent tendance à faire un raisonnement par l'absurde même quand ce n'est pas nécessaire.