Connexité
Salut,
On dit qu'un espace topologique $(E,\mathcal T)$ est connexe s'il ne vérifie pas ces assertions équivalentes :
1) Il existe une partie propre de $E$ à la fois ouverte et fermée ;
2) Il existe une partition de $E$ en deux ouverts ;
3) Il existe une partition de $E$ en deux fermés.
Je ne vois pas ce que suggère d'écrire l'extrait du cours ci-dessous. J'ai envie de dire que $A\subset E$ est connexe si et seulement si : EDIT : cela est faux.
Toutefois, je ne pense pas que cela soit ce qui est recherché, ni que ma caractérisation soit très "maniable" en pratique. Quelle est la définition utilisable en pratique pour montrer qu'une partie est connexe ?
PS : j'ai noté $\mathcal F$ l'ensemble des fermés de $E$.
Merci par avance,
On dit qu'un espace topologique $(E,\mathcal T)$ est connexe s'il ne vérifie pas ces assertions équivalentes :
1) Il existe une partie propre de $E$ à la fois ouverte et fermée ;
2) Il existe une partition de $E$ en deux ouverts ;
3) Il existe une partition de $E$ en deux fermés.
Je ne vois pas ce que suggère d'écrire l'extrait du cours ci-dessous. J'ai envie de dire que $A\subset E$ est connexe si et seulement si : EDIT : cela est faux.
Toutefois, je ne pense pas que cela soit ce qui est recherché, ni que ma caractérisation soit très "maniable" en pratique. Quelle est la définition utilisable en pratique pour montrer qu'une partie est connexe ?
PS : j'ai noté $\mathcal F$ l'ensemble des fermés de $E$.
Merci par avance,
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Réponses
Je ne crois pas que ce soit la bonne caractérisation. Par exemple, si $E=[0,1]$ et $A=\{0,1\}$, alors d'après ta caractérisation, $A$ serait connexe (ce qui n'est pas le cas). Sauf erreur.
Cet exemple montre que ce que tu as écrit ne va pas. Ça peut peut-être t'aider pour trouver une formulation correcte.
Soit $A$ une partie d'un espace topologique $(E,\mathcal T)$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1) $A$ est connexe ;
2) $\forall (O_1,O_2)\in\mathcal T^2, (A\subset O_1\cup O_2$ et $A\cap O_1\cap O_2=\emptyset)\implies (A\subset O_1$ ou $A\subset O_2)$.
Pour la démonstration, on montre chacune des deux implications par la contraposée. L'assertion 2) se comprend intuitivement avec des dessins de patates dans le plan.
Théorème : soient $A$ une partie connexe d'un espace topologique $(E,\mathcal T)$ et $B$ une partie de $E$ telle que $A\subset B\subset\overline{A}$. Alors $B$ est connexe.
Je n'arrive pas à démontrer ce théorème avec la définition. Voilà comment j'ai commencé : soit $(O_1,O_2)\in\mathcal T^2$ tel que $B\subset O_1\cup O_2$ et $B\cap O_1\cap O_2=\emptyset$. On suppose par l'absurde que $B\not\subset O_1$ et $B\not\subset O_2$.
D'autre part, comme $A\subset B$, on a $A\subset O_1\cup O_2$ et $A\cap O_1\cap O_2=\emptyset$.
Je ne sais pas comment aboutir à $A\not\subset O_1$ et $A\not\subset O_2$, ce qui contredirait la connexité de $A$ et démontrerait donc le théorème. Je pense qu'il faut utiliser $\overline A$ mais je ne sais pas comment.
Merci par avance,
> soit $(O_1,O_2)\in\mathcal T^2$ tel que $B\subset O_1\cup O_2$ et $B\cap O_1\cap O_2=\emptyset$.
> Comme $A\subset B$, on a $A\subset O_1\cup O_2$ et $A\cap O_1\cap O_2=\emptyset$.
Puisque $A$ est connexe, ...
Soit $(O_1,O_2)\in\mathcal T^2$ tel que $B\subset O_1\cup O_2$ et $B\cap O_1\cap O_2=\emptyset$. Comme $A\subset B$, on a $A\subset O_1\cup O_2$ et $A\cap O_1\cap O_2=\emptyset$ (*). Or $A$ est connexe, donc $A\subset O_1$ ou $A\subset O_2$. Par symétrie, on peut supposer $A\subset O_1$. Montrons que $B\subset O_1$ :
Soit $x\in B$. Alors $x\in\overline{A}$. Si $x\notin O_1$ alors $x\in O_2$ donc $A\cap O_2\neq\emptyset$. Il existe donc $y\in A\cap O_2$. Or $A\subset O_1$ donc $y\in A\cap O_1\cap O_2$, ce qui contredit (*).
Merci !
Ca va surement te paraitre un peu bizarre, mais c'est pour solliciter ta curiosité et te montrer qu'il n'y a pas "de raisonnement par l'absurde" dans cette partie de ton argument.