fonction 1-Lipschitz
Bonjour
Je dois montrer que la fonction suivante est 1-Lipschitz. $$f(x) = \frac{d(x,Y)}{d(x,X)+d(x,Y)}$$ où $X,Y$ sont deux fermés disjoints d'un espace métrique et où $d(x,A) = \min\limits_{z\in A} d(x,z)$.
J'ai essayé plein de calculs mais je n'y arrive pas. Il doit y avoir un truc pour pouvoir débloquer la situation mais je ne vois pas.
Je dois montrer que la fonction suivante est 1-Lipschitz. $$f(x) = \frac{d(x,Y)}{d(x,X)+d(x,Y)}$$ où $X,Y$ sont deux fermés disjoints d'un espace métrique et où $d(x,A) = \min\limits_{z\in A} d(x,z)$.
J'ai essayé plein de calculs mais je n'y arrive pas. Il doit y avoir un truc pour pouvoir débloquer la situation mais je ne vois pas.
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Réponses
Que sais-tu de $d(x,Y)$: continue ? Lipschitzienne peut-être ?... Bon normalement c'est $\inf$ pas $\min$ mais les américains (et non les anglos-saxons comme on lit souvent... ) aiment bien écrire $\min$ quand même il me semble.
> Je dois montrer que la fonction suivante est 1-Lipschitz. $$f(x) = \frac{d(x,Y)}{d(x,X)+d(x,Y)}$$
Une tâche bien difficile. Que dirais-tu de cette fonction quand $X={]}{-}\infty,0]$, $Y=[1/10,+\infty[$, l'espace métrique ambiant étant $\R$ muni de sa distance usuelle ?
Je confirme ton peut être que $x\to d(x,A)$ est 1Lip
$\forall \, x,y\quad \mid d(x,A)-d(y,A)| \le |x-y|$
Encore plus facile remarque : $A=B=\emptyset$ (:D. En gros l'exo c'est "montrer qu'un espace métrique est normal".
Je n'ai peut-être pas été assez explicite, et de toutes façons tomak a disparu du champ de bataille. Ces fonctions $f$ ne sont pas en général 1-lipschitziennes.
$$f(x) = \frac{d(x,Y)}{1+d(x,X)+d(x,Y)}$$
et ca devient 1-Lip
Soient $ (E,d_E)$ et $(F,d_F)$ des espaces métriques, $f:E\to F$ une application et $k$ un réel positif.
On dit que $f$ est k-lipschitzienne si $$
\forall (x,y) \in E^2,~~d_F\big(f(x),f(y)\big) \leq k d_E(x,y).$$
[Ne pas abuser des expressions centrées. AD]