Adhérence.

floyd mayweather
floyd mayweather
dans Topologie
Bonjour.

Quelle est l'adhérence dans $\Bbb{R}^2$ de l'ensemble $A=\{(|\alpha|+|\beta|+1,|\alpha|-|\beta|); \alpha,\beta \in\Bbb{N}^2\}$.

Avec la notation suivante: $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2)$ et $|\alpha|=|\alpha_1|+|\alpha_2|$.


Merci.

Réponses

  • uvdose
    uvdose
    Je n'ai peut-être rien compris à la définition de $A$ car j'ai l'impression que $A\subset\mathbb{Z}^2$ et donc que $A$ est fermé dans $\mathbb{R}^2$...
  • gebrane
    gebrane
    @uvdose
    Je veux bien croire que $\Z$ est fermé dans $\R$ car son complémentaire dans $\R$ est un ouvert (réunion des ouverts ]k,k+1[). Mais pourquoi crois-tu que $\Z^2$ est un fermé de $\R^2$, fait un dessin pour voir le complémentaire
    Le 😄 Farceur


  • floyd mayweather
    floyd mayweather
    L"adhérence d'un produit est le produit d'adérence, dans ce cas l'adhérence est $\Bbb{N}*\Bbb{Z}$. Je voulais juste vérifier le résultat.
  • P.
    P.
    Intervention obscure gebrane0. Bien sur que $\mathbb{Z}^2$ est ferme dans $\mathbb{R}^2.$
  • gebrane
    gebrane
    @P
    sans preuve, ça ne vaut rien. Je viens de trouver une preuve avec les suites que $\Z^2$ est un fermé de $\R^2$
    Puis-je savoir ta preuve @P
    Le 😄 Farceur


  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Gebran0, si tu admets que $\Z$ est fermé dans $\R$, comment fais-tu pour ne pas voir immédiatement que $\Z\times \Z$ est fermé dans $\R\times \R$ ?
  • P.
    P.
    Toute suite convergente dans $\mathbb{Z}^2$ est constante a partir d'un certain rang et donc la limite est dans $\mathbb{Z}^2.$
  • uvdose
    uvdose
    @gebrane0 : je veux bien faire un dessin :-)66404
  • gebrane
    gebrane
    @uvdose
    Merci pour le dessin, donc comment écrire le complémentaire de $\Z^2$ comme réunion d'ouverts ?
    @P
    C'est la même preuve que j'ai imaginé: si $(p_n,q_n)_n$ une suite d’éléments de $\Z^2$ qui converge vers $(x,y)\in \R^2$ alors il existe un rang N telque $\forall n,m\geq N,\quad |p_n-p_m|<1$ et $|q_n-q_m|<1$ ce qui montrer bien que la suite $(p_n,q_n)_n$ est stationnaire.
    @Tous
    Ici on a une partie A discrète (incluse dans $\Z^2$), je ne suis pas sûr que A est fermé dans $\R^2$
    Le 😄 Farceur


  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu écrivait:
    > Gebrane0, si tu admets que $\Z$ est fermé dans
    > $\R$, comment fais-tu pour ne pas voir
    > immédiatement que $\Z\times \Z$ est fermé dans
    > $\R\times \R$ ?

    J'aimerais vraiment savoir comment tu fais ?

    $$(A\times A)\setminus (B\times B)= (A\times (A\setminus B))\cup ( (A\setminus B))\times A)$$

    Tu écris des trucs un peu bizarres, des fois.
  • Poirot
    Poirot
    @gebrane0 : Par définition de la topologie produit sur $\mathbb R \times \mathbb R$, le produit de deux fermés est un fermé. Or $\mathbb Z$ est fermé dans $\mathbb R$, CQFD. Pas besoin de s'embêter avec des suites.

    Avec le dessin de uvdose, c'est encore plus évident. Le complémentaire de $\mathbb Z^2$ dans $\mathbb R^2$ est voisinage de chacun de ses points donc ouvert.
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone : Poirot ce n'est pas "par définition". C'est un lemme. D'ailleurs un produit quelconque de fermés est fermé dans le produit, le fini ne joue aucun rôle.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    Oui je suis allé un peu vite Christophe, mais c'est quand même relativement évident.
  • christophe c
    christophe c
    Oui c'est trivial looool
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 30

BibixDomNicoLeProfSethMorleyJuniorThierry PomaTrackTrickgai requinpozzarstfj +21 Invités