Homéomorphisme décomposition polaire.

Oui, c'est une fonction polynomiale quand on identifie $\mathcal M_n(\mathbb R)$ avec $\mathbb R^{n^2}$. C'est une méthode très utilisée pour montrer la continuité (ou plus) de certaine fonctions définies sur des ensembles de matrices, par exemple le déterminant.

Salut, peu importe que se soit une bête même à beaucoup de termes les produits et sommes de réels sont des opérations continues même analytiques.

Il suffit de voir que les applications $(a,b) \mapsto a+b$ et $(a,b) \mapsto ab$ sont continues de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R$. Par composition, et par une petite récurrence, toute application de $\mathbb R^k$ dans $\mathbb R^p$ dont les coordonnées sont polynomiales en les $k$ variables est continue (et même $\mathbb C^{\infty}$ par exemple).

Par exemple l'application qui à une matrice associe son polynôme caractéristique est continue. Ça permet de donner une démonstration très simple par densité du théorème de Cayley-Hamilton tant que l'on est sur $\mathbb Q, \mathbb R$ ou $\mathbb C$ (tout sous-corps de $\mathbb C$ fait l'affaire). Ce genre de raisonnement peut également être mené à bien sur tout corps algébriquement clos $k$, en se servant de la topologie de Zariski par exemple.