Homéomorphisme décomposition polaire.
Salut à tous.
En m'intéressant à ce sujet j'ai lu : $$\begin{array}{cccl}
f :& O_{n} \times S^{++}_{n}& \longrightarrow& GL_{n} (\mathbb{R}) \\
& (O,S) &\longmapsto &OS
\end{array}$$ est polynomiale donc continue.
Je ne vois pas pourquoi il s'agit d'un polynôme car $M_{n}(\mathbb{R})\times M_{n}(\mathbb{R})$ est un anneau produit non commutatif.
PS : Ah si je vois il s'agit probablement d'un polynôme en $n^{2}$ variables réelles.
En m'intéressant à ce sujet j'ai lu : $$\begin{array}{cccl}
f :& O_{n} \times S^{++}_{n}& \longrightarrow& GL_{n} (\mathbb{R}) \\
& (O,S) &\longmapsto &OS
\end{array}$$ est polynomiale donc continue.
Je ne vois pas pourquoi il s'agit d'un polynôme car $M_{n}(\mathbb{R})\times M_{n}(\mathbb{R})$ est un anneau produit non commutatif.
PS : Ah si je vois il s'agit probablement d'un polynôme en $n^{2}$ variables réelles.
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Réponses
Mais quand même un polynôme à $n^{2}$ variable j'ai jamais vu ça ($n \ne 1$), ça doit être un drôle de bête.
Par exemple l'application qui à une matrice associe son polynôme caractéristique est continue. Ça permet de donner une démonstration très simple par densité du théorème de Cayley-Hamilton tant que l'on est sur $\mathbb Q, \mathbb R$ ou $\mathbb C$ (tout sous-corps de $\mathbb C$ fait l'affaire). Ce genre de raisonnement peut également être mené à bien sur tout corps algébriquement clos $k$, en se servant de la topologie de Zariski par exemple.