Normes et distance

Bonjour,

Je bloque sur une démonstration que je dois effectuer sur laquelle je souhaiterais un peu d'aide svp, voici l'énoncé :

Soit X et Y deux vecteurs quelconques de $ R^n $, on note d₁ la distance liée à la norme 1 (notée || ||₁), d₂ la distance liée à la norme euclidienne (notée || ||₂) et d_$\infty$ la distance liée à la norme infinie (notée || ||_$\infty$).

Montrer que $(*)\ ||X||_1\leq\sqrt{n}\ .||X||_2\leq\ n\ . ||X||_\infty\ \Longrightarrow\ d_1(X,Y)\leq\ \sqrt{n}\ . d_2(X,Y)\leq\ n\ . d_\infty(X,Y) $

Voici le début de ma réponse :

$d_1(X,Y)\leq\ \sqrt{n}\ . d_2(X,Y)\leq\ n\ . d_\infty(X,Y)\ \Longleftrightarrow\ ||X-Y||_1\leq\sqrt{n}\ .||X-Y||_2\leq\ n\ . ||X-Y||_\infty$

D'où : $||X||_1\leq\sqrt{n}\ .||X||_2\leq\ n\ . ||X||_\infty\ \Longrightarrow\ ||X-Y||_1\leq\sqrt{n}\ .||X-Y||_2\leq\ n\ . ||X-Y||_\infty$

On remarque que :

$||X||_1\leq\sqrt{n}\ .||X||_2\leq\ n\ . ||X||_\infty\ \Longleftrightarrow\ ||X-Y+Y||_1\leq\sqrt{n}\ .||X-Y+Y||_2\leq\ n\ . ||X-Y+Y||_\infty$

$ \Longleftrightarrow\ ||X-Y||_1+||Y||_1\leq\sqrt{n}\ .||X-Y||_2+\sqrt{n}\ .||Y||_2\leq\ n\ . ||X-Y||_\infty+\ n\ .||Y||_\infty$

A gauche de la dernière inégalité : $||X-Y||_1\leq\sqrt{n}\ .||X-Y||_2+\sqrt{n}\ .||Y||_2\ -||Y||_1$

Or : $0\leq\ \sqrt{n}\ .||Y||_2\ -||Y||_1$ car $(*)$

J'aboutis à une impasse.. est-ce que je fais fausse route ?


Cordialement.