Rédaction d'une démonstration
Bonsoir !
je suis un autodidacte et je viens d'écrire une démonstration mais je ne suis vraiment pas sûr de sa véracité et de sa rédaction, je serais très heureux si quelqu'un pouvait me la lire et me dire ce qu'il en pense, je poste en topologie car c'est une démonstration de topologie il s'agit de démontrer que l'adhérence d'un ensemble $A$ est l'ensemble des limites des suites à valeurs dans $A$ (dans le cas d'un espace métrique)
Posons : $\Lambda = \{ x \mid \exists (u_{n}) \in A^{\mathbb{N}},\ \lim_{n \to \infty}(u_{n})=x \} $
càd l'ensemble des limites de suites à valeur dans $A$
soit $x \in \Lambda$
on a : $\exists (u_{n}) \in A^{\mathbb{N}},\ \lim_{n \to |\infty}u_{n}=x $
i.e $\forall V \in v(x), \ \exists B \in \mathbb{N},\ (u_{n})^{-1}(V) = [B,+\infty[ $ (intervalle d'entiers)
soit donc $V \in v(x)$ on a l'existence de ce $B$ et donc :
$u_{B} \in A \text{ et } u_{B} \in V$
et donc $A \cap V \neq \varnothing$
Ainsi, $\Lambda \subset \overline{A}=\{x\mid \forall V \in v(x),\ V \cap A \neq \varnothing\}$
soit maintenant $x \in \overline{A}$
On note : $(V)_{n}$ pour la suite $ B_{o}(x,\frac{1}{x})$
$\forall n \in \mathbb{N},\ B_{o}(x,\frac{1}{x})\cap A \neq \varnothing$ car c'est un voisinage de $x$.
(AC) on considère une suite de points $(x)_{n}$ tel que $x_{n} \in V_{n}$
on démontre aisément que cette suite converge vers $x$,
soit $V \in v(x)$ , $\exists N \in \mathbb{N} ,\ B_{o}(x,\frac{1}{x}) \subset V$ car les boules ouvertes de rayons $\frac{1}{n}$ et de centre $x$ est forment une base de voisinages de $x$.
Or à partir de ce $N$ tous les éléments de la suite sont donc dans $V$ et donc $f^{-1}(V)\cup \infty$ est un voisinage de plus l'infini.
et donc $x$ est une limite d'une suite à valeurs dans $A$
$\overline{A} \subset \Lambda$
et donc $\overline{A}=\Lambda$
Donc est-ce que je pourrais présenter ça dans une copie d’examen par exemple ou pas du tout ?
Aussi question de topologie : y a-t-il un autre critère que "métrique" pour que la topologie ait cette propriété ? Car j'ai utilisé une suite de voisinage qui "tendent" vers $x$ .
Merci d'avance.
je suis un autodidacte et je viens d'écrire une démonstration mais je ne suis vraiment pas sûr de sa véracité et de sa rédaction, je serais très heureux si quelqu'un pouvait me la lire et me dire ce qu'il en pense, je poste en topologie car c'est une démonstration de topologie il s'agit de démontrer que l'adhérence d'un ensemble $A$ est l'ensemble des limites des suites à valeurs dans $A$ (dans le cas d'un espace métrique)
Posons : $\Lambda = \{ x \mid \exists (u_{n}) \in A^{\mathbb{N}},\ \lim_{n \to \infty}(u_{n})=x \} $
càd l'ensemble des limites de suites à valeur dans $A$
soit $x \in \Lambda$
on a : $\exists (u_{n}) \in A^{\mathbb{N}},\ \lim_{n \to |\infty}u_{n}=x $
i.e $\forall V \in v(x), \ \exists B \in \mathbb{N},\ (u_{n})^{-1}(V) = [B,+\infty[ $ (intervalle d'entiers)
soit donc $V \in v(x)$ on a l'existence de ce $B$ et donc :
$u_{B} \in A \text{ et } u_{B} \in V$
et donc $A \cap V \neq \varnothing$
Ainsi, $\Lambda \subset \overline{A}=\{x\mid \forall V \in v(x),\ V \cap A \neq \varnothing\}$
soit maintenant $x \in \overline{A}$
On note : $(V)_{n}$ pour la suite $ B_{o}(x,\frac{1}{x})$
$\forall n \in \mathbb{N},\ B_{o}(x,\frac{1}{x})\cap A \neq \varnothing$ car c'est un voisinage de $x$.
(AC) on considère une suite de points $(x)_{n}$ tel que $x_{n} \in V_{n}$
on démontre aisément que cette suite converge vers $x$,
soit $V \in v(x)$ , $\exists N \in \mathbb{N} ,\ B_{o}(x,\frac{1}{x}) \subset V$ car les boules ouvertes de rayons $\frac{1}{n}$ et de centre $x$ est forment une base de voisinages de $x$.
Or à partir de ce $N$ tous les éléments de la suite sont donc dans $V$ et donc $f^{-1}(V)\cup \infty$ est un voisinage de plus l'infini.
et donc $x$ est une limite d'une suite à valeurs dans $A$
$\overline{A} \subset \Lambda$
et donc $\overline{A}=\Lambda$
Donc est-ce que je pourrais présenter ça dans une copie d’examen par exemple ou pas du tout ?
Aussi question de topologie : y a-t-il un autre critère que "métrique" pour que la topologie ait cette propriété ? Car j'ai utilisé une suite de voisinage qui "tendent" vers $x$ .
Merci d'avance.
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Réponses
Mais dans le fond tu as l'air d'avoir compris l'idée. Un conseil : essai d'alléger la notation. Évite par exemple de parler de base d'espace(constater que des boules de rayon plus petite forment une base pour ta topologie découle de la définition donc tu peux le passer sous silence.).
et oui j'ai aussi oublié d'indiquer que je parle d'un espace métrique et donc de la topologie associée à cette métrique.
et c'est dans ce cadre que je me suis demandé si le fait d'être métrique est inévitable pour cette proposition càd si on a la proposition que j'ai tenté de démontrer alors l'espace est métrique.
Merci beaucoup !
En tout cas, je pense que, quand on fait de la topologie "scolaire", il faut à tout prix se passer des suites, et ne raisonner qu'en termes de voisinages, d'adhérence, etc. sauf si on est obligé.e d'utiliser des suites !
a priori oui, car le correcteur te soupçonnera peut-être de ne pas être francophone et ne pénalisera deux ou trois mini fautes de frappe ou ce genre.
C'est l'axiome du choix dénombrable que tu utilises, ça fera mieux de le dire comme ça (enfin si le correcteur est au courant).
Pour enfoncer le clou, ici une liste d'espaces séparés qui sont Fréchet-Urysohn, séparés, mais pas localement de base dénombrable (et donc pas métrisables).
@Ottman : En résumé, Métrisable $\Rightarrow$ Localement de base dénombrable (i.e. pour tout point, il y a une suite de voisinages de ce point telle que tout voisinage de ce point contienne un des voisinages de la suite (ça s'appelle une "base de voisinages dénombrable") et on appelle ça "first countable" en anglais) $\Rightarrow$ Fréchet-Urysohn (pour démontrer la deuxième implication, c'est à peu près ce que tu as déjà fait, et pour la première tu as déjà remarqué que les boules centrées en un point de rayons inverses d'entiers est une base de voisinages), et aucune des réciproques n'est vraie (tu as des contre-exemples sur le site !).
@christophe : J'ai un peu réfléchi, et finalement, le seul contre-exemple que j'aie trouvé "sans inspiration", c'était un $\mathbb{N}$ avec deux infinis, qui est bien Fréchet-Urysohn, mais pas métrisable, pour la raison un peu idiote qu'il n'est pas séparé. Que voulais-tu dire par "contre-exemple formel" ? Si je te demandais de trouver un espace topologique satisfaisant une conjonction de propriétés ou de leur négation choisie dans cette liste, tu t'y prendrais comment ? Je demande ça parce que je t'ai déjà entendu parler de contre-exemples trouvables "sans inspiration", et je ne sais pas vraiment ce que tu veux dire par là !