Dire qu'une suite converge dans un espace
dans Topologie
Bonjour,
Je me pose une question de vocabulaire.
Je prends un espace métrique $(E,d_E)$, et une suite $(X_n) \in E$.
Si on dit que "$(X_n)$ converge DANS $E$", cela veux dire que "$(X_n)$ converge vers une limite (limite qui appartient à $E$) et ce par la distance sur E ; $d_E$" ?
Merci !
Je me pose une question de vocabulaire.
Je prends un espace métrique $(E,d_E)$, et une suite $(X_n) \in E$.
Si on dit que "$(X_n)$ converge DANS $E$", cela veux dire que "$(X_n)$ converge vers une limite (limite qui appartient à $E$) et ce par la distance sur E ; $d_E$" ?
Merci !
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Réponses
Le "dans $E$" a son intérêt quand on a des sous-espaces, etc., bref quand c'est ambigu selon le contexte.
Et la limite appartient toujours à $E$ c'est bien ça ?
Là où ça peut être ambigu c'est quand E est vu comme un sous-espace d'un autre espace.
J'ai une autre question ; est-ce qu'il existe un ensemble dans lequel toute suite convergerait ?
Autrement dit une sorte d'ensemble stable par passage à la limite ?
Est-ce que $\mathbb{R}\cup \{-\infty\}\cup \{+\infty\}$ marcherait ?
Dans ton exemple tu n'as pas précisé la métrique mais ça ne pourrait pas marcher quelle que soit la distance. Prend une suite qui prend alternativement deux valeurs différentes par exemple. En fait ça ne marche qu'avec les singletons comme tu peux le prouver.
Pour ta première question je n'ai pas compris, mais je réitère que par définition la limite appartient à l'espace. D'ailleurs, à quoi appartiendrait-elle sinon ?
Donne-nous toi-même la définition de suite convergente dans un espace métrique. Tu verras bien.
L'ambiguïté vient généralement quand une suite peut être vue comme appartenant à plusieurs espaces.
Je voulais dire ; pour $(X_n)$, converger (dans E) c'est à la fois :
- avoir sa limite dans E
- converger pour la distance définie sur E
On est d'accord ? (Désolé c'est la même question qu'au tout début c'est juste pour bien confirmer)
La confiance règne :-D
Donc sans plus d'info, oui bien sûr que la limite est dans $E$, c'est la définition.
Après si ta suite est à valeurs dans une partie $F$ de $E$, plusieurs choses peuvent se passer. Ou bien la suite converge, toujours au sens de la topologie de $E$, et dans ce cas il se peut que la limite ne soit pas dans $F$.
Ou bien la suite converge au sens de la topologie de $F$, et là la limite est automatiquement un élément de $F$, puisqu'on est dans le cadre du début de mon message.