Dire qu'une suite converge dans un espace

Oui. Et sans contexte particulier, même sans la mention "DANS $E$", ça voudrait toujours dire cela.

Le "dans $E$" a son intérêt quand on a des sous-espaces, etc., bref quand c'est ambigu selon le contexte.

Sans contexte particulier, dire qu'une suite de E converge c'est par définition dire que la limite appartient à E.

Là où ça peut être ambigu c'est quand E est vu comme un sous-espace d'un autre espace.

Il existe des espaces métriques dans lesquels toute suite converge, par exemple un singleton.

Dans ton exemple tu n'as pas précisé la métrique mais ça ne pourrait pas marcher quelle que soit la distance. Prend une suite qui prend alternativement deux valeurs différentes par exemple. En fait ça ne marche qu'avec les singletons comme tu peux le prouver.

Pour ta première question je n'ai pas compris, mais je réitère que par définition la limite appartient à l'espace. D'ailleurs, à quoi appartiendrait-elle sinon ?

Donne-nous toi-même la définition de suite convergente dans un espace métrique. Tu verras bien.

L'ambiguïté vient généralement quand une suite peut être vue comme appartenant à plusieurs espaces.

Pour la quatrième fois oui :-)
La confiance règne :-D

Il faut savoir que la définition de convergence d'une suite à valeurs dans un espace topologique $E$ commence par $$\exists l \in E, \dots$$

Donc sans plus d'info, oui bien sûr que la limite est dans $E$, c'est la définition.

Après si ta suite est à valeurs dans une partie $F$ de $E$, plusieurs choses peuvent se passer. Ou bien la suite converge, toujours au sens de la topologie de $E$, et dans ce cas il se peut que la limite ne soit pas dans $F$.

Ou bien la suite converge au sens de la topologie de $F$, et là la limite est automatiquement un élément de $F$, puisqu'on est dans le cadre du début de mon message.