Topologie induite, contre exemple

nguaphap
nguaphap
dans Topologie
Bonjour à tous, j'ai une question sur un résultat qui se trouve à la page 31 (version électronique) du cours d'analyse de Pommellet :

Soit (E,d) un espace métrique et A une partie de E.

- Si A est ouvert, tout ouvert de A est ouvert dans E, mais en général un fermé de A n'est pas fermé dans E.
- Si A est fermé, tout fermé de A est fermé dans E, mais en général un ouvert de A n'est pas ouvert dans E.

Je n'arrive pas à me représenter les deux situations en italique. Merci d'avance pour votre aide.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Il suffit d'utiliser la définition d'un fermé de $A$. C'est un ensemble de la forme $B = A \cap F$ avec $F$ fermé dans $E$ Dans ce cas $B$ n'a aucune raison d'être fermé dans $E$, par exemple si tu prends $A = ]0, 1[$ et $F = [0, 1/2]$. Plus simplement encore $A$ est un fermé de $A$ mais en général pas un ouvert de $E$. L'autre situation est similaire.
  • curiosity
    curiosity
    Comment peuvent être définis/caractérisés les ouverts (resp. fermés) de $A$ ? Comme la trace sur $A$ (i.e. l'intersection avec $A$) des ouverts (resp. fermés) de $E$. Si $A$ est lui-même ouvert dans $E$, l'intersection de tout ouvert $B$ de $E$ avec $A$ sera aussi un ouvert. Par contre, pour un fermé $B$ de $E$, ça ne marche plus car on a l'intersection d'un fermé ($B$) et d'un ouvert ($A$) qui peut donner n'importe quoi...
    Par exemple, dans $E=R$, $A=]0,2[$ et $F=]0,1]$ : que peut-on dire de $F$ pour la topologie induite sur $A$ ? Et dans $R$ ?

    Edition pour modifier les notations.
  • nguaphap
    nguaphap
    Merci pour cette réponse tout à fait claire. Bonne fin de journée.
  • Lupulus
    Lupulus
    Prenons la première situation : $(0,1)$ est fermé dans $(0,1)$ mais n'est pas fermé dans $[0,1]$.

    Edit : je suis (très) à la masse.

    [Que vient faire le couple $(0,1)$ ici ? Ne serait-ce pas l'intervalle $]0,1[$ ? AD]
  • nguaphap
    nguaphap
    @curiosity Effectivement dans votre exemple on remarque que $F$ est fermé pour la topologie induite sur $A$ car son complémentaire dans $A$ est un ouvert. Par contre $F$ n'est ni fermé ni ouvert dans $E=\mathbb{R}$.

    @Lupulus Merci également pour cet exemple un peu moins parlant, mais exotique.

    @Poirot je n'avais pas vu votre réponse, merci également.
  • curiosity
    curiosity
    Oui, mais raisonner en termes de "traces" est, dans ces cas et dans mon expérience, plus facile : $F$ est la trace sur $A$ du fermé $[0,1]$ de $R$. Passer par le complémentaire dans un sous-ensemble peut être difficile...
  • nguaphap
    nguaphap
    Merci pour ce conseil. J'y penserai lorsque je passerai à la phase entraînement.
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