Action de Sl_2(R)

Pour la 1), à quoi ressemble la restriction de l'action à $\rm SO_2(\mathbb{R})$ ? Comme $\rm SO_2(\mathbb{R})$ est compact et connexe, l'orbite de tout point est un compact connexe non vide de $\mathbb{R}$ dont le groupe des homéomorphismes agit transitivement. Cela ne peut donc être qu'un point. C'est donc que $\rm SO_2(\mathbb{R})$ agit trivialement, et donc est contenu dans le sous-groupe de $\rm SL_2(\mathbb{R})$ composé des éléments qui agissent trivialement, qui est un groupe distingué. Mais $\rm SL_2(\mathbb{R})$ n'a pas beaucoup de sous-groupes distingués...

Ben, si $G$ agit sur $X$ par homéomorphismes, alors si $x \in X$, l'orbite $Gx$ est un espace topologique tel que $Homeo(Gx) \curvearrowright Gx$ transitivement. Si $Gx$ est tel qu'il existe un point $y \in Gx$ tel que $Gx \setminus \{y\}$ n'est pas connexe, alors on a en fait $\forall y \in Gx\quad Gx \setminus \{y\}$ n'est pas connexe. Dans un segment, les deux extrémités ne déconnectent pas, mais les points de l'intérieur si. Donc un segment d'intérieur non vide ne peut pas être une orbite. Or les connexes compacts de $\mathbb{R}$ sont les segments. Donc dans ce cas, c'est forcément un point.

$\{\pm I_2\}$ est un sous-groupe distingué, mais il n'y en a pas d'autre non trivial !

Ben pour démontrer qu'il n'y a que ça comme sous-groupes distingués, il suffit de montrer que le quotient $\rm PSL_2(\mathbb{R})$ est simple. C'est en fait un théorème très général, c'est-à-dire que $\rm PSL_n(\mathbb{K})$ est simple pour tout $n \geq 2$ et $\mathbb{K}$ corps, sauf deux ou trois exceptions ! Tu peux trouver ça dans le livre de Daniel Perrin, Cours d'algèbre, je crois.

Pour rédiger proprement ce que j'avance, on peut formuler ça comme ça :
Soit $X$ un espace topologique. Un point $x \in X$ est dit déconnectant si $X \setminus \{x\}$ n'est pas connexe.
Lemme : Soit $h$ un homéomorphisme de $X$. Si $x$ est déconnectant, alors $h(x)$ aussi.
Corollaire : Soit $X$ un espace homogène (i.e. tel que pour tout couple de points $(x,y)$, il existe un homéomorphisme $h$ de $X$ tel que $h(x) = y$ - c'est exactement ce que veut dire que $Homeo(X) \curvearrowright X$ agit transitivement). Alors soit tout point est déconnectant, soit aucun ne l'est.
Corollaire : Si $a<b$, ni $[a,b[$, ni $]a,b]$, ni $[a,b]$ ne sont homogènes.

Moi, je me dis que si, par peur de paraître idiot, on ne pose pas une question, qu'on bloque dessus, qu'on en fait une affaire personnelle et qu'on se décourage, c'est finalement bien pire ! Et puis, un truc est souvent plus simple une fois qu'on a la solution !