Sous-espace vectoriel de dimension finie

C'est la notion (souvent déclarée "délicate" dans les ouvrages de topologie) de sous-espace topologique. On a transitivité : si $A\subset B\subset X$, la topologie de $A$ sous-espace topologique de $B$, lui-même sous-espace topologique de $X$, est exactement la topologie de $A$ considéré "directement" comme sous-espace de $X$.

Ici, $A=F$, $B=\bar F$ et $X=E$.

Il me semble qu'il y a une preuve bien plus simple sans aucun lemme. On utilise la complétude du sous-espace de dimension finie et c'est plié.

Edit : j'ai compris la preuve initiale j'étais HS ...

Un produit fini d'espaces complets est complet est assez simple et direct à prouver. Certains diraient même trivial n'est-ce pas ;-)

Ha non mais t'as tout fait raison. J'ai aussi lu son message. J'ai posté le mien à toute fin utile c'est tout, surtout qu'il y avait déjà des réponses à sa question.

Je ne comprends pas bien ton argument. Pourquoi "il doit exister un voisinage de $x$ dans $F+Kx$ d'intersection nulle avec $F$". Tu oublies visiblement de dire des choses et tu t'embarques dans un truc trop compliqué.
Il suffit de remplacer les trois petits points par "$x\in F$" : un élément d'un espace adhérent à un sous-ensemble fermé appartient à ce sous-ensemble !

Effectivement, j'ai survolé, mais je ne sais pas quel chargé de TD ou livre joue à balancer des arguments assez risqués comme ça (au moins leur auteur prend des initiatives). Mon survol fait que je n'avais pas vu que dans le lemme en italique, E est de dimension finie, car attention retenue par l'horreur de voir supposé à la fin que $\{x\mid x_i=0\}$ est fermé. Cela dit, ça ne change pas grand chose à l'instabilité de l'argument, justement à cause de cet effet visuel + le fait que le corollaire ne peut pas être déduit du lemme, sinon le corollaire serait vrai (or il est faux sans restriction sur le corps). Le lemme est aussi faux, donc tout va bien :-D ($\Q$ dense dans $\Q+\pi \Q$)

En dimension infinie ce genre d'hyperplan (issu d'une base de Hamel) n'est quasiment jamais fermé. "Là maintenant", je ne vois aussi qu'une seule manière d'expédier que les hyperplans en dimension finie sont fermés, c'est de prétendre que les formes linéaires sont continues. Mais je plaide quand-même coupable.

C'est pour ça que je te dis "ferme tes livres" et prouve ce résultat seul. Les tour de passe passe de ton chargé de TD ou de l'auteur de ton livre sont les siens, il est content, il a fait mumuse, il est très intelligent et inspiré, mais, ça ne fait pas de toi un propriétaire de ta pensée.

Ton objection est parfaitement saine (même si GBZM t'a répondu correctement), mais ce n'est pas parce qu'on va te répondre et tout te récapituler que tu auras progressé. Tu as maintenant tous les éléments pour faire tout ça seul. Il y a des tas de faux plats dans cette problématique.

juliengenf écrivait:

> Le lemme permet de conclure que $F$ est fermé
> dans $F+Kx$, et non pas dans $\overline{F}$...

M'enfin ???
On a $F\subset A\subset B$, avec $B$ espace topologique.
Si $x$ est un élément de $A$ qui est adhérent à $F$ dans $B$, alors il est aussi adhérent à $F$ dans $A$ !!! (je te laisse t'en convaincre).

Donc si $x$ est adhérent à $F$ (dans $E$ donc dans $F+Kx$) et si $F$ est fermé dans $F+Kx$, alors $x$ appartient à $F$.

@Julien: j'ai peu de temps, mais je me force quand-même à te signaler les choses suivantes à toute vitesse:

1) dans un espace métrique, $x\in adh(Y)$ signifie juste que pour tout $e>0$, il existe $y\in Y: d(x,y)<e$, donc pas de souci d'espaces ambiants.

2) fais l'exercice de prouver ce que t'ont dit les intervenants quand c'est dans un espace topologique plus général

3) La preuve de ton livre ou de ton prof que tu as mise à ton premier post, me semble (sauf erreur, et je m'excuserais le cas échéant) du grand grand n'importe quoi. Pourquoi:

3.1) Le corollaire prétend être un corollaire du lemme. Mais pourtant la seule chose utilisé dans le corollaire c'est la chose ADMISE aussi dans le lemme. Franchement, pourquoi appeler ça un corollaire? (La chose en question est que si $E$ est de dimension finie alors ses hyperplans sont fermés)

3.2) Je n'y ai pas réfléchi, mais je l'ai déjà dit, est-il vraiment plus court ou facile de prouver que les hyperplans sont fermés (en dim finie) que de prouver que les sous-espaces sont fermés (en dim finie)? Bof, bof, rien ne me vient à l'esprit.

3.conclusion) cette preuve me semble bidon( un preuve est toujours "correcte", il n'y a pas de preuve "fausse", mais elle semble peu convaincante du résultat que son auteur cherche à vendre. Elle prouve d'amusants autres trucs, j'en conviens, élégants, esthétiques, rigolos, astucieux. Mais pas ce qu'elle me semble avoir mission de prouver ** )

** Sauf si 3.2 est dénoué

Evidemment tout ceci concerne les corps topologiques quelconques au sein desquels certains rendent vrai les résultats là n'est pas la question.