Revêtement sur Sl_2(R)

Tu pourrais faire attention! Il y a beaucoup d’imprécisions, d'erreurs et de changements de notations dans ton poste: $\mathfrak{b}$ devient $\mathcal{B}$, le centre de $S_Z$ est $S_Z$ lui-même et n'est pas du tout fini et par ailleurs ta deuxième question n'a pas de sens ou est trivialement fausse (car $S$ a bien des sous-groupes compacts connexes non triviaux, par exemple le sous-groupe $S_Z$ que tu considère dans ta première question). Pour la première question on peut procéder ainsi. Notons $PSL_2(\mathbb{R})$ le quotient de $SL_2(\mathbb{R})$ par son centre. Alors, $S$ est aussi le revêtement universel de $PSL_2(\mathbb{R})$ et de plus le centre de $S$ s'identifie à $\pi_1(PSL_2(\mathbb{R}))$ par l'application qui envoie $z\in Z(S)$ (je note $Z(S)$ le centre de $S$) sur la classe de l'image de n'importe quel lacet qui relie $1$ à $z$ dans $S$ (le savais-tu?). Tu te convaincras alors, par le théorème de relèvement des chemins, que via cette identification $Z(S)\cap S_Z$ correspond à l'image de $\pi_1(\overline{S}_Z)$ dans $\pi_1(PSL_2(\mathbb{R}))$ par l'application naturelle où j'ai noté $\overline{S}_Z$ l'image de $S_Z$ dans $PSL_2(\mathbb{R})$. Quitte à conjuguer $Z$ on peut supposer que $Z\in \mathfrak{so}(2)$ (l’algèbre de Lie de $SO_2(\mathbb{R})$) et alors $\overline{S}_Z=PSO_2(\mathbb{R})$ (le quotient de $SO_2(\mathbb{R})$ par $\{\pm 1\}$). Or la décomposition d'Iwasawa $PSL_2(\mathbb{R})=ANK$ (avec décomposition unique) où $A:=\left\{ \begin{pmatrix} \lambda & \\ & 1 \end{pmatrix}\mid \lambda \in \mathbb{R}_+^*\right\}$, $N:=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & x \\ & 1 \end{pmatrix}\mid x\in \mathbb{R}\right\}$ et $K=PSO_2(\mathbb{R})$ montre que $PSL_2(\mathbb{R})\simeq \mathbb{R}_+^*\times \mathbb{R}\times PSO_2(\mathbb{R})$ et donc, comme $\mathbb{R}_+^*\times \mathbb{R}$ est contractile, $\pi_1(PSL_2(\mathbb{R}))\simeq \pi_1(PSO_2(\mathbb{R}))$.

Le $\pi_1$ c'est le groupe fondamental. Mais commençons par le commencement: comment définis-tu le revêtement universel?

Algèbre a écrit:

un revêtement est la donnée [...] d'un revêtement

:-D

Oui ça tourne un peu en rond. Qu'est-ce qu'un revêtement pour toi exactement? Et que signifie "simplement connexe"? Ah oui et j'ai oublié une autre erreur dans ton poste initial: $S_Z$ n'est PAS compact (en fait on a $S_Z\simeq\mathbb{R}_+^*$)

Ben tu gagnerais probablement à en savoir un peu plus sur le groupe fondamental ! Il y a le polycopié de Michèle Audin à ce sujet, qui pourra probablement te renseigner.

Tu as pourtant tout ce qu'il faut pour conclure... Quand même, ne vois-tu pas que quitte à conjuguer $Z$ on peut supposer que $Z\in Lie(K)=Lie(\widetilde{K})$? Et dans ce cas que vaut $S_Z$? Par ailleurs un élément $z$ du centre de $S$ s'envoie sur un élément du centre de $SL_2(\mathbb{R})$, on est bien d'accord? Et comme le centre de $SL_2(\mathbb{R})$ vaut $\{ \pm 1\}$ qui est inclus dans $K$, on en déduit que $z$ appartient à l'image inverse de $K$ dans $S$, c'est-à-dire $\widetilde{K}$...

Non, évidemment la décomposition d'Iwasawa ne respecte pas la structure de groupe...et ça n'a rien à voir avec notre histoire. Maintenant, sais tu que tout élément de $\mathfrak{sl}_2$ dont la 'norme' de Killing est négative est conjugué sous $SL_2(\mathbf{R})$ à un élément de $\mathfrak{so}_2(\mathbf{R})$? Si tu ne le sais pas prouve le!

Pour montrer que $S$ n'a aucun sous-groupe compact non trivial tu peux procéder comme suit. Soit $K_S$ un sous-groupe compact de $S$. Alors sa projection sur $SL_2(\mathbb{R})$ est aussi compacte et quitte à conjuguer on peut toujours supposer que cette projection est incluse dans $K:=SO_2(\mathbb{R})$. Mais alors, $K_S$ est un sous-groupe de l'image inverse $\widetilde{K}\simeq \mathbb{R}$ de $K$ dans $S$ qui lui n'a pas de sous-groupe compact non trivial.