Preuve de continuité d'une application

nguaphap · October 2017

Bonjour à tous, n étant un entier naturel non nul, je cherche à comprendre pourquoi l'application ci-dessous est continue. Je ne suis pas du tout familier avec les normes de $\mathbb{R}_{n}[X]$. Quelqu'un saurait-il me montrer la voie ?

$f : \begin{cases}
\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}_{n}[X] \\
(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})\mapsto \prod_{i=1}^n (X-\alpha_{i})
\end{cases}$

Merci d'avance pour vos réponses,
Nguaphap

GaBuZoMeu · October 2017

Sur un espace vectoriel réel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
En l'occurrence, il suffit ici de voir que les coefficients du polynôme image sont des fonctions continues de $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$.

nguaphap · October 2017

Merci pour ta réponse. Effectivement, lorsque je vois cette fonction comme une fonction vectorielle dont chaque fonction composante est une fonction continue de $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$, ton message fait sens (compte-tenu de l'équivalence entre la continuité d'une fonction vectorielle et la continuité de ses fonctions composantes). Bonne fin de journée.

Preuve de continuité d'une application

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