topologie de R
Réponses
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Qu'as-tu essayé ? As-tu fait un dessin ?
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Oui j'ai fait un dessin et c'est assez claire mais je ne sais pas comment commencer la rédaction de la preuve
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Lance-toi. On pourra éventuellement corriger tes maladresses.
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La clé ? Nommer !
Commençons par nommer les extrémités de $I$, disons $I=\left]a,b\right[$. Puis on nomme le "rayon" de l'intervalle cherché, disons $\alpha$. On cherche donc $\alpha$ tel que $I_x=\left]x-\alpha,x+\alpha\right[$ soit inclus dans $I$, ce qui donne : $\alpha>0$ (pourquoi ?) et, plus sérieusement : $a<x-\alpha$ et $x+\alpha<b$ (pourquoi ?). (Comment) peut-on choisir $\alpha$ ? -
Soit $I=]a,b[$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ et soit $x\in I$ alors $a<x<b$.
On peut toujours toujours trouver deux réels $c$ et $d$ tel que $a<c<x<d<b$ (car $\mathbb{R}$ est archimédien) donc il existe un intervalle $]c,d[$ ouvert inclut dans $I$ .
Mais là $x$ n'est pas forcément le centre de $]c,d[$ il faut que $x=\frac{d-c}{2}$, et ca je ne sais pas comment l’intégrer. -
Math Coss t'a mâché le boulot. As-tu réfléchi à son message ?
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Désolé je n'ai pas vu le message de Math Coss avant de poster mon message,
On cherche $\alpha$ tel que
1) $\alpha>0$, 2) $x-\alpha>a$, 3) $x+\alpha<b$.
donc $\alpha<x-a$ et $\alpha<b-x$ il suffit de prendre $\alpha <\max(x-a,b-x)$?
pour $\alpha>0$ c'est un rayon donc forcement positif , je ne comprends pas le "pourquoi" -
Tu t'es embrouillé dans les $\$ $, et aussi dans le relation d'ordre !
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j'ai modifié mon message
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Je ne veux pas pinailler pour rien, mais j'imagine que l'énoncé précise que $I_x$ doit être ouvert, sinon $[x,x]$ fait l'affaire.
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Oui, ouvert skyffer3.
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Tu as corrigé pour les $\$ $, mais tu t'embrouilles toujours avec l'ordre. Relis-toi attentivement !
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En effet, il reste une erreur.
Pourquoi imposer $\alpha>0$ ? Pour que $I_x$ soit non seulement ouvert, mais aussi non vide.
NB : De façon générale, j'essaie de ne pas changer le sens des inégalités (passer de $<$ à $>$ et inversement). Et finalement, je préfère $<$ ou $\le$. Mais ça n'engage que moi. -
Je pense que c'est ca $\alpha <a-x $ et $\alpha<y-b$ et la on prend l'inf entre {a-x,y-b}
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Voilà : min et pas max (plutôt min qu'inf, pour un ensemble fini).
Pour en revenir à ton début de solution, vois-tu comment le poursuivre ? En remplaçant cet intervalle $\left]c,d\right[$ par un intervalle centré en $x$ et assurément contenu dans $I$ ? -
oui merci, et il faut maintenant considérer les intervalles $]-\infty,a[, ]b,+\infty[, ]-\infty,+\infty[ $
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Eh bien, vas-y !
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Comment poursuis-tu alors ?
Si $a$ ou $b$ est infini (j'aurais plutôt écrit $\left]-\infty,b\right[$ et $\left]a,+\infty\right[$ par souci d'uniformité), c'est plus facile.
Edit : je coupe un peu. -
On peut juste noter que $I$ est ouvert donc est voisinage de $x$ donc contient une boulouverte de centre $x$. Et que dans $\R$ une boulouverte de centre $x$ est un intervalle ouvert centré sur $x$. B-)
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S'il vous plait,
Si j'ai $a\in]x,\frac{x+y}{2}[$ donc $\alpha\leq \min\{a-x,\frac{x+y}{2}-y\}$ peut on désigner la valeur exacte du min? est ce que c'est $a-x$ ou $\frac{x+y}{2}-y.$
Merci.
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