Espace vectoriel topologique

Si la topologie sur ton espace vectoriel n'est pas séparée c'est évidemment faux... Par contre en rajoutant une hypothèse de séparation cela devient vrai, on a même plus généralement : tout groupe topologique séparé est régulier. Pour la preuve je te met sur la piste: Soit $G$ un groupe topologique séparé et $U$ un voisinage ouvert de $e$ ( l'élément neutre). Il suffit de montrer que $U$ contient un voisinage fermé de $e$ (pourquoi?). Soit $V$ un voisinage ouvert de $e$ tel que $VV^{-1}\subset U$ (sais-tu pourquoi un tel voisinage existe?), alors j'affirme que $\overline{V}$ (la fermeture de $V$) est un voisinage qui convient. À toi de le démontrer !