Relation entre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$

Topotopo · October 2017

Bonsoir,

Comment démontrer l'équivalence entre ces deux assertions

1) $\forall a,b\in\mathbb{R},(a<b), ]a,b[\cap \mathbb{Q}\neq \emptyset$

2) tout réel est limite d'une suite de nombres rationnels

Si je suppose que 2) est vérifiée et soit $a,b\in\mathbb{R}$ alors i existe $(p_n),(q_n)\subset Q$ tel que $a=\lim_{n\to+\infty}p_n$ et $b=\lim_{n\to+\infty}q_n$

$\mathbb{Q}$ n'est pas fermé donc il ne contient pas les limites a et b , mais cela ne me donne pas que $ ]a,b[\cap \mathbb{Q}\neq \emptyset$

Comment faire s'il vous plait?
Merci

Poirot · October 2017

Ton 1) est faux, il se pourrait très bien que $b \leq a$.

Avec le bon énoncé, il suffit de prendre une suite de rationnels convergeant vers $\frac{a+b}{2}$.

Topotopo · October 2017

donc je considère la suite $\frac{p_n+q_n}{2}$ c'est ça ?

et pour 1 implique 2 , je fais comment s'il vous plait ?

GaBuZoMeu · October 2017

Répondre à la question 1) en supposant déjà acquise la question 2) ?
Il vaut mieux procéder autrement, à mon avis, et utiliser le résultat de 1) pour 2).

Pour 1) : pour $n$ entier naturel suffisamment grand, on a $\dfrac1n < b-a$. Vois-tu comment t'en servir pour coincer un rationnel entre $a$ et $b$ ?

Topotopo · October 2017

Je suis entrain de démonter l'équivalence entre 1 et 2 et pas 1 toute seule et 2 toute seule .

et pour répondre a votre question je ne vois pas comment du fait que $\frac1n<b-a$ je peux trouver une suite qui converge entre a et b

GaBuZoMeu · October 2017

J'avais zappé "l'équivalence entre".
Mon indication était pour démontrer 1) (en utilisant le fait que $\R$ est archimédien).
Pour montrer que 1 implique 2, il suffit en gros de dérouler la définition de limite.

Topotopo · October 2017

pour 1 implique 2, je commence par

Supposant que 1) est vérifié et soit $r\in\mathbb{R}$ comment utiliser le 1) ?

Merci

GaBuZoMeu · October 2017

Qu'est-ce que ça veut dire, que $r$ est limite d'une suite de rationnels ? Ne vois-tu pas un rapport avec le fait de pouvoir placer un rationnel dans un intervalle ouvert, aussi petit soit-il ?

Topotopo · October 2017

on doit montrer qu'il existe une suite $(r_n)\subset \mathbb{Q}$ tel que $\lim_{n\to+\infty}r_n=r$

je sait que si $r\in\mathbb{R}$ alors il existe forcement $\varepsilon>0$ tel que $]r-\varepsilon,r+\varepsilon[\cap\mathbb{Q}\neq \emptyset$ selon 1)

mais je ne vois pas comment construire $(r_n)$

Poirot · October 2017

Et bien comme dit précédemment, pour tout $n \in \mathbb N^*$, il existe un rationnel $r_n \in ]r - \frac{1}{n}, r+\frac{1}{n}[$. Je te laisse finir.

De manière générale, quand tu as un énoncé de la forme "pour tout machin, il existe truc", c'est souvent un très bon moyen de construire une suite de trucs (du moment que tes machins sont en nombre infini).