Dense dans un fermé

Zopui a écrit:

- pour tout point x de X, on peut trouver un point de A qui soit aussi proche de x que souhaité.

Cette définition, une fois bien formalisée, n'a pas de sens dans un espace topologique général. Il faut une métrique pour formaliser cette définition.

La deuxième définition est plus générale, et équivalente à la première dans le cas des espaces métriques.

Zopui a écrit:

Ainsi, si on s'imagine l'espace composé des points {-1, 1}, peut-on dire qu'il est dense dans [1, 1] sachant que l'adhérence de cet espace serait donc [-1,1] (je crois).

Avec la topologie usuelle c'est complètement faux. Comment le démontrerais-tu ?

Enfin, je n'ai pas trop compris le lien avec les fermés dans ton message.

C'est plutôt une question de topologie.

Quelques remarques : si $X$ est un espace topologique, et $A$ et $B$ sont des parties de $X$ telles que $A \subseteq B$, on dit que $A$ est dense dans $B$ (dense tout court si $B = X$) si, pour tout point $b$ de $B$, et tout voisinage $V$ de $b$ dans $X$, il existe $a$ dans $A$ et dans $V$.
De plus, pour une partie $B$ de $X$, on peut définir une topologie sur $B$, dite "topologie induite par $X$ sur $B$", qui est l'ensemble des $B \cap U$ où $U$ parcourt les ouverts de $X$.
Pour t'exercer, tu peux essayer de démontrer que pour $A \subseteq B \subseteq X$, alors $A$ est dense dans $B$ au sens défini ci-dessus si et seulement si $A$, en tant que partie de l'espace topologique $B$ muni de la topologie induite par $X$, est dense (la terminologie est bien choisie !).

L'adhérence d'une partie $A$ d'un espace topologique $X$, c'est l'intersection de tous les fermés de $X$ qui contiennent $A$. Il faut bien préciser "l'adhérence de $A$ DANS $X$". Pour t'exercer, tu peux essayer de démontrer que pour $A \subseteq B \subseteq X$, alors $A$ est dense dans $B$ si et seulement si $B \subseteq adh(A)$ (où on sous-entend que l'adhérence est prise "dans $X$").
Si $B$ est, de plus, une partie fermée de $X$, alors $A$ est dense dans $B$ si et seulement si $B = adh(A)$ (essaie de le démontrer !).

Maintenant, choisis un ensemble $X$ qui te plaise, et qui contienne $A := \{-1,1\}$ et $B := [-1,1]$. Choisis une topologie dessus, et décide si $A$ est dense dans $B$ !

Quelques petits exercices amusants :
1) Soit $X$ un ensemble fini, muni de la topologie discrète (toutes les parties sont décrétées ouvertes). Quelles sont les parties denses ?
2) Soit $X$ un ensemble, et $x \in X$. On munit $X$ de la topologie "point particulier" : une partie est ouverte si et seulement si elle est vide ou contient $x$. Démontre que $\{x\}$ est dense dans $X$.
3) Soit $X$ l'ensemble des nombres réels, et soit $A_1$ (respectivement $A_2$) le sous-ensemble formé des rationnels (respectivement des irrationnels). Démontre que pour tout intervalle ouvert $]a,b[$ non vide, il existe des éléments de $A_1$ et de $A_2$ dedans. Puis, renseigne-toi sur la topologie dite "usuelle" sur l'ensemble des réels, et démontre que $A_1$ et $A_2$ sont denses dans $X$ muni de cette topologie usuelle.

PS : S'imaginer ce qu'est un espace dense, c'est quelque chose de personnel, non mathématique. Personnellement, je pense que le seul moyen de développer un "sens de la densité", c'est de regarder plein d'exemples !
PS2 : Je te conseille d'éviter les suites comme la peste !

@skyffer : Perso, je ne suis pas d'accord que "aussi proche qu'on veut" ne soit pas formalisable en topologie générale, puisque pour moi, c'est l'idée du filtre des voisinages qui formalise ça.