Base de topologie dénombrable

anthomedal
anthomedal
dans Topologie
Bonjour,
Soit $(E, \Gamma)$ un espace topologique métrisable et séparable, on note $d$ une distance permettant de générer la topologie $\Gamma$.
Soit $A= \{ a_n \mid n \in \mathbb{N} \}$ une partie dénombrable et dense dans $E$.
Pour $n \in \mathbb{N}$ et $m \in \mathbb{N}^{*}$ on note $B_{nm}=B(a_n,\frac{1}{m})$

On remarque que l'ensemble des $B_{nm}$ est au plus dénombrable, mais comment voir qu'il s'agit d'une base de topologie pour $\Gamma$ ? Je n'arrive même pas à prouver que leur union forme $E$, intuitivement cela semblerait découler de la densité de $A$ mais je n'arrive pas à le mettre en forme... Quelqu'un a une idée ? Merci beaucoup !

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Comme les boules (ouvertes) pour $d$ forme une base pour ta topologie, il suffit de voir que toute telle boule contient un $B_{n, m}$. Et pour ça il suffit d'approcher le centre de ta boule convenablement par un $a_n$ !
  • anthomedal
    anthomedal
    J'ai d'abord exploré cette voie, je peux même le démontrer, comme $A$ est dense, pour tout $x \in E$ et $r>0$ on a :

    $A \cap B(x,r) \neq \emptyset$

    Donc il existe $a_n \in B(x,r)$ et donc pour $m$ assez grand :

    $B(a_n, \frac{1}{m}) \subset B(x,r)$

    OK mais en quoi ça en fait une base de topologie ?
  • Chalk
    Chalk
    En fait il faut voir que toute boule ouverte est réunion de toutes les boules $B_{n,m}$ qu'elle contient, pour prouver le "il suffit" de Poirot. Mais on peut le faire facilement en ayant déjà prouvé que toute boule ouverte contient une boule $B_{n,m}$.

    Si tu ne veux pas admettre son "il suffit", montrons directement que tout ouvert est réunion des boules $B_{n,m}$ qu'il contient. Bon ça revient à la définition mais c'est pas plus compliqué. Tu prends un point $x$ de ton ouvert, une boule $B(x,r)$, $r>0$, contenue dans l'ouvert, et tu cherches une boule $B_{n,m}$ qui contient $x$ et qui est contenu dans $B(x,r)$ donc dans l'ouvert.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Ben, une base d'une topologie $T$ sur un ensemble $X$, c'est un sous-ensemble $B$ de $T$ tel que pour tout $U \in T$, et tout $x \in U$, il existe $V \in B$ tel que $x \in V \subseteq U$.

    Tu n'y es pas encore tout à fait. Soit $U$ un ouvert, et $x \in U$. Il existe $N>0$ tel que $B(x,1/N) \subseteq U$. Est-ce qu'il existe $n$ tel que $d(x,a_n) < 1/2N$ ? Si oui, pour un tel $n$, a-t-on $x \in B(a_n,1/2N) \subseteq U$ ?
  • anthomedal
    anthomedal
    Si $U$ est un ouvert (à priori pour les boules quelconques) et $x \in U$, effectivement il existe $N<0$ tel que $B(x, \frac{1}{N}) \subset U$. Comme $A$ est dense dans $E$, on a

    $A \cap B(x, \frac{1}{2N})$ non vide

    Donc il existe $a_n \in B(x, \frac{1}{2N})$ et on a bien $d(a_n,x)< \frac{1}{2N}$ . On a déja $x \in B(a_n, \frac{1}{2N})$, enfin si $y$ appartient à cette dernière boule :

    $d(x,y) \leq d(x,a)+d(a,y) < \frac{1}{N}$

    Donc $y \in B(x, \frac{1}{N}) \subset U$ On en conclut que $B(a_n, \frac{1}{2N}) \subset U$

    Effectivement on en conclut que les ouverts engendrés par les deux bases sont les mêmes ! Merci beaucoup
  • anthomedal
    anthomedal
    Je viens de penser, Georges Abitbol, je ne suis pas d'accord avec toi ! Pour moi une base de topologie c'est un ensemble de parties $\beta$ d'un ensemble $E$ dont la réunion de tous les éléments est $E$ et telle que l'intersection de deux éléments de $\beta$ est une réunion d'éléments de $\beta$. Une fois ceci posé, effectivement j'ai une proposition qui m'affirme que, si on note $T$ la topologie engendrée par $\beta$, $O$ est un ouvert si et seulement si pour tout $x \in O$ il existe $B \in \beta$ tel que $x \in B \subset O$. Peut être qu'il y a équivalence entre cette propriété et le fait d'être une base topologique, mais en ce qui me concerne je ne connais que l'implication...
  • anthomedal
    anthomedal
    Tous comptes faits, je suis d'accord ! En effet, soit $\beta$ un ensemble de parties d'un espace topologique $(E,T)$ tel qu'on ai l'équivalence : $O \in T \Leftrightarrow \forall x \in O , \exists B \in \beta, x \in B \subset O$.
    Montrons que $E$ est alors réunion des éléments de $\beta$, pour $x \in E$ on sait qu'il existe $B_x \in \beta$ tel que

    $x \in B \subset E$
    Donc

    $\cup_{x \in E} B_x = E$ (l'inclusion réciproque est facile)

    Montrons ensuite que l'intersection de deux éléments de $\beta$ est une union d'éléments de $\beta$. Soient $B$ et $B'$ dans $\beta$, on voit facilement que notre hypothèse implique que ce sont deux ouverts, leur intersection (puisque finie) est donc un ouvert, en conséquence, il existe $B_0$ dans $\beta$ tel que $B_0 \subset B \cap B'$. On note alors $(B_i)_{i \in I}$ la famille constituée de tous les ouverts contenus dans cette intersection, il est clair que :

    $\cup_{i \in I} B_i \subset B \cap B'$

    Mais toujours par hypothèse, si $x \in B \cap B'$ il existe $i \in I$ tel que

    $x \in B_i \subset B \cap B'$

    Mais alors $ x \in \cup_{i \in I} B_i$ On en conclut que $\cup_{i \in I} B_i = B \cap B'$ ce qui achève la démonstration : $\beta$ est une base de topologie sur $E$. Discussion très enrichissante, chacun de vos conseils m'ont permis de voir cette démonstration, je vous remercie, en vous souhaitant une bonne soirée ! :)
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Ok. Alors il y a deux choses différentes. D'une part, si $T$ est une topologie, et si $B \subseteq T$, on dit que $B$ est une base de $T$ si ce que j'ai dit plus haut est vrai. On peut démontrer que $B$ est une base de $T$ si et seulement si tout élément de $T$ est soit $X$, soit une réunion d'éléments de $B$. On peut aussi démontrer que $B$ est une base de $T$ si et seulement si tout élément $O$de $T$ est la réunion de la famille des éléments de $B$ tels que $O \subseteq B$.

    On dit que $B$ est une prébase de $T$ si pour tout $x$, et pour tout $U \in T$, il existe $n$ et $V_1,...,V_n$ des éléments de $B$ tels que $x \in \bigcap_i V_i \subseteq U$. On peut démontrer que $B$ est une prébase de $T$ si et seulement si tout élément de $T$ est soit $X$, soit une réunion d'intersections finies d'éléments de $B$.

    D'autre part, si $B$ est un ensemble de parties d'un ensemble $X$, alors l'intersection des topologies qui contiennent $B$ est une topologie, appelée topologie engendrée par $B$. Notons-la $T(B)$ (je ne sais pas s'il y a une notation standard). On peut démontrer que $T(B)$ est l'ensemble des parties de $X$ qui sont soit $X$, soit une réunion d'intersections finies d'éléments de $B$.

    $B$ est toujours une prébase de $T(B)$. Mais $B$ n'est pas forcément une base de $T(B)$. Par contre, si $B$ vérifie ce que tu dis dans ton dernier message, alors il n'y a pas besoin de prendre les intersections finies, c'est-à-dire que $T(B)$ est l'ensemble des parties de $X$ qui sont soit $X$, soit une réunion d'éléments de $B$.

    Enfin bref, avec tout ça, tu dois pouvoir démontrer que $B$ est une "base de topologie" au sens de "ta" définition si et seulement si $B$ est une base de $T(B)$, au sens de "ma" définition.

    EDIT : J'ai barré des trucs.
    EDIT2 : Nos messages se sont croisés.
    EDIT3 (ohlala !) : Petit rajout dans le premier paragraphe.
  • anthomedal
    anthomedal
    Entendu, j'ai parfaitement trouvé ma solution, merci beaucoup ! ;)
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