Suite Compacte

Toborockeur · October 2017

Bonjour,

Je suis sur un exercice et j'aurais besoin d'une indication.

Soit $X$ un espace topologique séparé. Soient $(x_n)$ une suite convergente de $X$ et $l$ sa limite. Montrer que $\{x_n\}_n \cup \{l\}$ est compact.

J'ai introduit un recouvrement mais je ne vois pas comment continuer. J'ai deux idées : dire qu'il existe un seul gros ouvert qui contient tout (après tout cet ouvert serait un voisinnage de $l$ ) ou établir des sortes de classes d'équivalences ou je regrouperai les termes égaux, mais je crois bien que cette idée ne marcherait que si je prenais un nombre fini de valeurs. Bref, une indication ne serait pas de refus.

Merci

flipflop · October 2017

Il existe un ouvert de ton recouvrement qui contient $\ell$ et certainement beaucoup de $x_n$

Toborockeur · October 2017

Je crois que je viens de trouver. J'introduis un ouvert voisinnage de $l$ qui contient tous les termes a partir du rang $n_0$ et ceux qui restent (un nombre fini) sont tous dans leurs petits ouverts car on est dans un espace séparé. Ca manque de rédaction mais c'est l'idée non?

Toborockeur · October 2017

Et oui du coup pour faire propre ce fameux ouvert contenant $\ell$ est un du recouvrement. Ai je le droit d'affirmer que ceux qui restent (les ouverts) contenant les termes qui restent sont parmi mon recouvrement?

Georges Abitbol · October 2017

Qu'est-ce que ça veut dire, que tu "introduis" un voisinage ? Ca me fait penser à ça.

Toborockeur · October 2017

Très drôle Geroges ^^Je veux dire par la que j'en prends un. Mais dans la version finale je dis simplement comme flipflop me l'a conseillé que l'un des ouverts du recouvrement contient $\ell$ et est donc voisinage de ce dernier

Georges Abitbol · October 2017

Ben à te lire, je ne suis pas tout à fait convaincu que tu aies une démonstration correcte... Je pense que ça mérite que tu essaies de détailler !

Toborockeur · October 2017

Alors,

Soit $\bigcup_I O_i$ un recouvrement de $\{x_n\}\cup\{\ell\}$.
Il existe $i_0$ tel que $\ell$ appartient à $O_{i_0}$, et donc il existe un $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite sont dans $O_{i_0}$. Pour chaque $n$ inférieur à $n_0$ il existe un ouvert du recouvrement contenant $U_n$.
J'ai bien extrait un recouvrement fini, donc ma partie est compacte.

Georges Abitbol · October 2017

$x_n$ à la place de $U_n$ ? Et $\{x_n \ \vert \ n \in \mathbb{N}\} \cup \{l\}$ ? ET l'hypothèse de séparation ?

Toborockeur · October 2017

Oui je voulais dire $x_n$. L'hypothèse de séparation me permet de dire que la limite est unique? et pour l'ensemble je ne comprends pas duquel il s'agit

Georges Abitbol · October 2017

$\{x_n\}$ c'est un singleton. Que veux-tu dire par "L'hypothèse de séparation me permet de dire que la limite est unique?" ? Une suite dans un espace séparé ne peut avoir qu'une seule limite, c'est vrai.

Toborockeur · October 2017

Oui pardon en écrivant $\{x_n\}$ je pensais a tous les $x_n$. Je ne vois pas où m'aide l'hypothèse de séparation. Je pourrais supposer mes ouverts disjoints mais est ce utile?

Toborockeur · October 2017

Et pour ta question je veux dire qu'il y a un nombre fini de $\ell$ quoi, un pour être exact. Je ne pourrais pas faire ça si l'espace n'était pas séparé.

Georges Abitbol · October 2017

Mieux vaut écrire $\{x_n \ \vert \ n \in \mathbb{N}\}$ (j'ai corrigé ma coquille plus haut). Et pour l'hypothèse de séparation, ça dépend de la définition que l'on t'a donnée de "compact". Certaines personnes incluent dans la définition de "$X$ est compact" que $X$ est séparé, mais ce n'est quasiment jamais le cas pour les anglophones. En français, quand on veut mettre l'accent sur le fait qu'on ne suppose pas l'espace séparé, on dit "quasicompact".

Tu as donc démontré que si $X$ est un espace topologique (pas forcément séparé) et si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite dans $X$ qui converge vers $l \in X$, alors $\{x_n \ \vert \ n \in \mathbb{N}\} \cup \{l\}$ est quasicompact.

Chaurien · October 2017

C'est une question intéressante, pour les pauvres de nous qui en prépas n'étudions que les espaces métriques (et même pas mais bon...) et n'avons pas la définition des compacts par les recouvrements, mais seulement par les suites extraites. Cette définition séquentielle convient pour la plupart des questions, mais se montre inadaptée pour ce problème-ci.
Pourtant, c'est une chose très importante à savoir. Par exemple pour prouver qu'une application additive d'un espace vectoriel normé dans un autre, qui est bornée sur tout compact, est linéaire et continue.
Alors, quelle est la démonstration avec la définition séquentielle des compacts ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.