L'ensemble des matrices diagonales

Si tu as quelque notion de connexité tu devrais pouvoir montrer facilement qu'il ne s'agit pas d'un ouvert.

Je serais plus contemplatif : une droite dans le plan, c'est ouvert ? Un plan dans l'espace ? Un sous-espace vectoriel de dimension $n$ dans un espace vectoriel de dimension $n^2$ ? Ah, tiens, ça pourrait dépendre de $n$...

Une remarque : dans une boule de rayon $r$ d'un espace vectoriel, on a une base de l'espace (en fait, plein), par exemple $(\epsilon e_i)_{i\in I}$ pour $(e_i)_{i\in I}$ base quelconque et $\epsilon>0$ choisi convenablement en fonction de la base (convenablement comment ?).

Si $n = 1$ c'est ouvert.

Ne jamais oublier les petits indices.

Pour ta question tu n'as pas besoin de connexité. Souviens-toi que la convergence d'une matrice est équivalente à la convergence composante par composante.

Pour $n > 1$ tu prends une matrice diagonale et tu te rends compte qu'une matrice de même diagonale avec des $\epsilon$ autour n'est pas diagonale pour tous $\epsilon > 0$.