Projection depuis un espace compact

Ca me fait pas mal penser à ça au lemme du tube : https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_du_tube

Je n'ai pas fait l'exercice, mais en envoyant le lien, c'était plutôt une incitation à utiliser la démonstration (du lien) pour t'inspirer à résoudre l'exo.

Il me semble qu'on peut faire l'exercice de manière complètement séparée du lemme du tube (avec lequel je ne vois d'ailleurs pas de lien immédiat)

Une indication est la suivante : soit $F$ un fermé de $X\times Y$, $y\notin \pi(F)$. Si $x\in X$, $(x,y)\notin F$, en particulier il existe $U_{x,y}, V_{x,y}$ ouverts de $X, Y$ respectivement tels que $(x,y)\in U_{x,y}\times V_{x,y}$ et $U_{x,y}\times V_{x,y}\cap F =\emptyset$.

On a des ouverts pour chaque $x\in X$, et $X$ est compact.. que faire ?

Je ne faisais que donner une indication pour Toborockeur, et en effet dans ce que j'ai écrit je n'utilise pas la compacité de $X$, mais j'indiquais que la compacité de $X$ allait venir.