Projection depuis un espace compact
dans Topologie
Bonjour,
Je suis sur un exercice de topologie que je n'arrive pas à résoudre.
Soit $X$ un espace topologique séparé. Montrer que si $X$ est compact, alors la projection $\pi:X\times Y\rightarrow Y$ est fermée pour tout espace topologique $Y$.
Je ne vois même pas quelle caractérisation des fermés utiliser.
Merci de votre aide.
Je suis sur un exercice de topologie que je n'arrive pas à résoudre.
Soit $X$ un espace topologique séparé. Montrer que si $X$ est compact, alors la projection $\pi:X\times Y\rightarrow Y$ est fermée pour tout espace topologique $Y$.
Je ne vois même pas quelle caractérisation des fermés utiliser.
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Réponses
Une indication est la suivante : soit $F$ un fermé de $X\times Y$, $y\notin \pi(F)$. Si $x\in X$, $(x,y)\notin F$, en particulier il existe $U_{x,y}, V_{x,y}$ ouverts de $X, Y$ respectivement tels que $(x,y)\in U_{x,y}\times V_{x,y}$ et $U_{x,y}\times V_{x,y}\cap F =\emptyset$.
On a des ouverts pour chaque $x\in X$, et $X$ est compact.. que faire ?
$\forall (x,y) \in (X \times Y)\backslash F, \exists \omega$ ouvert tel que $(x,y) \in \omega$ et $\omega \subset (X\times Y) \backslash F$
A priori, c'est que $(X\times Y) \backslash F$ est ouvert et donc $F$ fermé. Et la compacité de X n'est pas utile.
Du coup, comment démontres-tu l'existence de tes ouverts ?