Exercice sur une partie non dénombrable de R
Je suis sur un exercice depuis quelques temps mais je ne vois pas du tout comment faire..
Voici l’énoncé :
Soit E une partie non dénombrable de $\mathbb{R}$
Montrer l’existence d’un réel $x$ tel que $E\cap\left ] -\infty , x \right [$ et $E\cap\left ] x , +\infty \right [$ soient non dénombrables
J’avais pensé montrer l’existence d’au moins un intervalle non réduit à un singleton compris dans E. Et le « couper » au milieu mais je ne vois pas non plus comment avancer..
Merci d’avance !
Voici l’énoncé :
Soit E une partie non dénombrable de $\mathbb{R}$
Montrer l’existence d’un réel $x$ tel que $E\cap\left ] -\infty , x \right [$ et $E\cap\left ] x , +\infty \right [$ soient non dénombrables
J’avais pensé montrer l’existence d’au moins un intervalle non réduit à un singleton compris dans E. Et le « couper » au milieu mais je ne vois pas non plus comment avancer..
Merci d’avance !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je croyais y être arrivé en faisant une union sur tous les $x$ appartenant à $\mathbb{Q}$ vérifiant $E \cap ]x,+\infty [$ dénombrable et pareil de l’autre côté mais c’était pas hyper propre..
Bien sûr c'est à formaliser.
Et sinon je vois l’autre idée, mais pour couper en deux, encore faut il pouvoir couper à un endroit, il n’y a pas vraiment de milieu..?
Soit E une partie non dénombrable de $\mathbb{R}$
Montrer l’existence d’un réel $x$ tel que $E\cap\left ] -\infty , x \right [$ et $E\cap\left ] x , +\infty \right [$ soient non dénombrables
On raisonne par l'absurde et on suppose
$\forall x \in \mathbb{R}, \, "E\cap]-\infty,x[ \, est \, dénombrable" \, ou \, "E\cap]x,+\infty[ \, est \, dénombrable" \, (1)$
Si on suppose qu'il existe $x$, $x\in\mathbb{R}$, tel que $E\cap]-\infty,x[$ soit dénombrable et $E\cap]x,+\infty[$ soit dénombrable, alors $E$ est réunion d'ensemble dénombrable, "à $x$ près" et on a une contradiction.
Le "ou" est donc nécessairement un "ou exclusif"
Considérons $A=\{x\in\mathbb{R} \, | \, E\cap]-\infty,x[ \, est \, dénombrable\}$
Si $A$ est vide, alors
$\forall x\in\mathbb{R}, \, E\cap]-\infty,x[$ est non dénombrable
D'où $\forall x\in\mathbb{R}, \, E\cap]x,+\infty[$ est dénombrable d'après $(1)$
Et on peut alors écrire $E$ comme union dénombrable d'ensemble dénombrable. Nouvelle contradiction
($\displaystyle{\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \, E\cap]-n,+\infty[ \,=E}$)
Si $A$ est non majoré, alors
$\forall M\in\mathbb{R}, \, \exists x\in\mathbb{R}, \, x\geq M, \, E\cap]-\infty,x[$ est dénombrable
On construit alors une suite par récurrence :
$0\in\mathbb{R}$ donc il existe $x_0, \, x_0\geq 0, \, E\cap]-\infty,x_0[$ est dénombrable
Soit $n\in\mathbb{N}$
On suppose $x_0, x_1, ..., x_n \, construits$
$x_n +1\in\mathbb{R}$ donc il existe $x_{n+1}, \, x_{n+1}\geq x_n+1, \, E\cap]-\infty,x_{n+1}[$ est dénombrable
On construit ainsi une suite croissante non majorée,
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=+\infty}$
Et on a $\displaystyle{\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \, E\cap]-\infty,x_n[ \,=E}$
Nouvelle contradiction (réunion dénombrable d'ensembles dénombrables)
$A$ admet donc une borne supérieure que l'on note $a$
On montre de même l'existence de $b$,
$b=inf\{x\in\mathbb{R} \, | \, E\cap]x,+\infty[ \, est \, dénombrable\}$
Cas 1 : $a < b$
$E\cap]-\infty,\frac{a+b}{2}[$ est non dénombrable car $\frac{a+b}{2}$ est strictement plus grand que $a$
D'où $E\cap]\frac{a+b}{2},+\infty[$ est dénombrable (d'après $(1)$) ce qui fournit notre contradiction (avec la borne inf) car $\frac{a+b}{2}$ est strictement plus petit que $b$
Cas 2 : $a > b$
$E\cap]\frac{a+b}{2},+\infty[$ dénombrable car $\frac{a+b}{2}>b$
En effet, $\frac{a+b}{2}>b$ donc $\frac{a+b}{2}$ ne minore pas $\{x\in\mathbb{R} \, | \, E\cap]x,+\infty[ \, est \, dénombrable\}$
Ainsi, il existe $c$, $c\leq\frac{a+b}{2}$ tel que $c\in\{x\in\mathbb{R} \, | \, E\cap]x,+\infty[ \, est \, dénombrable\}$
On fixe $c$
$E\cap]c,+\infty[$ est dénombrable
Or $E\cap]\frac{a+b}{2},+\infty[ \, \subset \, E\cap]c,+\infty[$
Donc $E\cap]\frac{a+b}{2},+\infty[$ est dénombrable
De même $E\cap]-\infty,\frac{a+b}{2}[$ dénombrable car $\frac{a+b}{2}<a$
$E=E\cap]-\infty,\frac{a+b}{2}[ \, \bigcup \, E\cap]\frac{a+b}{2},+\infty[$ "à $\frac{a+b}{2}$ près"
Contradiction
Cas 3 : $a=b$
(je suis encore moins sûr de ma rédaction pour ce cas)
Par propriété de la borne supérieure,
$\exists (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^\mathbb{N}$ tel que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty} x_n =a}$
On fixe une telle suite et on a
$\displaystyle{\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \, E\cap]-\infty,x_n[ \,=E\cap ]-\infty,a[}$
Donc $E\cap ]-\infty,a[$ est dénombrable (union dénombrable d'ensembles dénombrables)
On fait de même pour montrer que $E\cap ]b,+\infty[$ est dénombrable
Comme $a=b$, $E$ est union de deux ensembles dénombrables "à $a$ près".
Contradiction
M'enfin tout ça me semble un peu lourd. Qu'en pensez vous ?
(Je ne suis même pas sûr de ma rédaction et si quelqu'un(e) y trouve des erreurs, je suis preneur)
Edit : j'ai corrigé les "indénombrable", merci Poirot
Si je veux montrer l'existence d'un réel $x$, tel que $E\cap]-\infty,x[$ et $E\cap]x,+\infty[$ soient non dénombrables.
La négation est bien :
$$\forall x\in\mathbb{R}, E\cap]-\infty,x[ \, est \, dénombrable \, ou \, E\cap]x,+\infty[ \, est \, dénombrable \, (1)$$
Non ?
Ainsi si j'ai
$$\forall x\in\mathbb{R}, E\cap]-\infty,x[ \, est \, non \, dénombrable$$
En utilisant la propriété (1), j'obtiens :
$$\forall x\in\mathbb{R}, E\cap]x,+\infty[ \, est \, dénombrable$$
Considérons les intervalles dyadiques $D_{n,k} = \left [k2^{-n},(k+1) 2^{-n}\right]$ pour tous $n \in \N$ et $k \in \Z$. Il nous suffit de montrer qu'il existe $n \in \N$ et $(k,\ell) \in \Z^2$ avec $k \neq \ell$ tels que $D_{n,k} \cap E$ et $D_{n,\ell}\cap E$ sont indénombrables.
Quel que soit $n \in \N$, la réunion dénombrable $\bigcup_{k\in\Z} D_{n,k}$ est égale à $\R$, donc il existe $k \in \Z$ tel que $D_{n,k} \cap E$ est indénombrable. Raisonnons par l'absurde en supposant que, pour chaque $n\in \N$, il en existe un seul (et on le note $k_n$, de sorte que $D_{n,k} \cap E$ est dénombrable si $k \neq k_n$).
Alors les $(D_{n,k_n})$ forment un suite décroissante de segments dont les largeurs tendent vers $0$. On en déduit que leur intersection se réduit à un singleton $\{a\}$ avec $a \in \R$. Ainsi, $E \setminus \{a\}$ est dénombrable puisqu'il est inclus dans la réunion dénombrable :
$$
\bigcup_{n\in \N}\bigcup_{k\in \Z,\ k\neq k_n} (D_{n,k} \cap E).
$$
Le fait que pour tout $n$, $n\in \N$, $D_{n+1,k_{n+1}}$ soit inclus dans $D_{n,k_n}$ vient du fait que le $k_n$ est unique et donc au rang suivant l’intersection indénombrable ne peut être qu’incluse dans l’intersection indénombrable précédente. Est ce bien ça ?
Aussi à la dernière ligne, $E\backslash\{a\}$ est égal à la réunion non ?
Édit : en fait non, car $a$ peut être une borne d’un des $D_{n,k_n}$. (Si il est dans $E$ aussi). Est ce bien ça ?
Autre détail, $a$ appartient-il nécessairement à $E$ ?
Je vais essayer de démontrer directement que la suite dont il parle est décroissante..
$$\forall n\in\N,\forall k\in\Z,D_{n,k}=D_{n+1,2k}\bigcup D_{n+1,2k+1}$$
C’est à dire
$$\forall n\in\N,\forall k\in\Z,\exists l\in\Z,D_{n+1,k}\subset D_{n,l} \, (1)$$
Soit $n\in\N$
Par l’absurde, supposons que $D_{n+1,k_{n+1}}$ n’est pas inclus dans $D_{n,k_n}$
Alors d’après $(1)$,
$$\exists l\in\Z,l\neq k_n,D_{n+1,k_{n+1}}\subset D_{n,l}$$
On fixe $l$
$D_{n,l}\cap E$ est dénombrable par hypothèse ce qui fournit une absurdité..
Car $D_{n+1,k_{n+1}}\cap E$ est non dénombrable et $D_{n+1,k_{n+1}}\cap E \subset D_{n,l}\cap E$
Dites moi si il y a erreur mais ça me semble correcte. Encore une fois, si quelqu’un à quelque chose à redire sur ma démonstration précédente, je suis preneur !
Tu peux prolonger un peu l'exercice en montrant que $E$ admet en fait une infinité de tels points de condensation (et même que l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas des points de condensation de $E$ est dénombrable).
Soit $A$ la réunion des $D_{n,k}$ avec $(n,k)\in\N\times\Z$ tels que $D_{n,k} \cap E$ est dénombrable. Je te laisse vérifier que l'ensemble des points de condensation de $E$ est le complémentaire de $A$.