Exercice sur une partie non dénombrable de R

J’ai déjà essayé mais il y a quand même pas mal de cas non ?
Je croyais y être arrivé en faisant une union sur tous les $x$ appartenant à $\mathbb{Q}$ vérifiant $E \cap ]x,+\infty [$ dénombrable et pareil de l’autre côté mais c’était pas hyper propre..

marco, comment je sais qu’une telle borne sup. existe ?

Et sinon je vois l’autre idée, mais pour couper en deux, encore faut il pouvoir couper à un endroit, il n’y a pas vraiment de milieu..?

Si j'essaye de faire ça un minimum proprement ça donne ça :

Soit E une partie non dénombrable de $\mathbb{R}$
Montrer l’existence d’un réel $x$ tel que $E\cap\left ] -\infty , x \right [$ et $E\cap\left ] x , +\infty \right [$ soient non dénombrables

On raisonne par l'absurde et on suppose
$\forall x \in \mathbb{R}, \, "E\cap]-\infty,x[ \, est \, dénombrable" \, ou \, "E\cap]x,+\infty[ \, est \, dénombrable" \, (1)$

Si on suppose qu'il existe $x$, $x\in\mathbb{R}$, tel que $E\cap]-\infty,x[$ soit dénombrable et $E\cap]x,+\infty[$ soit dénombrable, alors $E$ est réunion d'ensemble dénombrable, "à $x$ près" et on a une contradiction.
Le "ou" est donc nécessairement un "ou exclusif"

Considérons $A=\{x\in\mathbb{R} \, | \, E\cap]-\infty,x[ \, est \, dénombrable\}$

Si $A$ est vide, alors
$\forall x\in\mathbb{R}, \, E\cap]-\infty,x[$ est non dénombrable
D'où $\forall x\in\mathbb{R}, \, E\cap]x,+\infty[$ est dénombrable d'après $(1)$
Et on peut alors écrire $E$ comme union dénombrable d'ensemble dénombrable. Nouvelle contradiction
($\displaystyle{\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \, E\cap]-n,+\infty[ \,=E}$)

Si $A$ est non majoré, alors
$\forall M\in\mathbb{R}, \, \exists x\in\mathbb{R}, \, x\geq M, \, E\cap]-\infty,x[$ est dénombrable
On construit alors une suite par récurrence :
$0\in\mathbb{R}$ donc il existe $x_0, \, x_0\geq 0, \, E\cap]-\infty,x_0[$ est dénombrable

Soit $n\in\mathbb{N}$
On suppose $x_0, x_1, ..., x_n \, construits$
$x_n +1\in\mathbb{R}$ donc il existe $x_{n+1}, \, x_{n+1}\geq x_n+1, \, E\cap]-\infty,x_{n+1}[$ est dénombrable

On construit ainsi une suite croissante non majorée,
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=+\infty}$
Et on a $\displaystyle{\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \, E\cap]-\infty,x_n[ \,=E}$
Nouvelle contradiction (réunion dénombrable d'ensembles dénombrables)

$A$ admet donc une borne supérieure que l'on note $a$
On montre de même l'existence de $b$,
$b=inf\{x\in\mathbb{R} \, | \, E\cap]x,+\infty[ \, est \, dénombrable\}$

Cas 1 : $a < b$
$E\cap]-\infty,\frac{a+b}{2}[$ est non dénombrable car $\frac{a+b}{2}$ est strictement plus grand que $a$

D'où $E\cap]\frac{a+b}{2},+\infty[$ est dénombrable (d'après $(1)$) ce qui fournit notre contradiction (avec la borne inf) car $\frac{a+b}{2}$ est strictement plus petit que $b$

Cas 2 : $a > b$
$E\cap]\frac{a+b}{2},+\infty[$ dénombrable car $\frac{a+b}{2}>b$
En effet, $\frac{a+b}{2}>b$ donc $\frac{a+b}{2}$ ne minore pas $\{x\in\mathbb{R} \, | \, E\cap]x,+\infty[ \, est \, dénombrable\}$
Ainsi, il existe $c$, $c\leq\frac{a+b}{2}$ tel que $c\in\{x\in\mathbb{R} \, | \, E\cap]x,+\infty[ \, est \, dénombrable\}$
On fixe $c$
$E\cap]c,+\infty[$ est dénombrable
Or $E\cap]\frac{a+b}{2},+\infty[ \, \subset \, E\cap]c,+\infty[$
Donc $E\cap]\frac{a+b}{2},+\infty[$ est dénombrable

De même $E\cap]-\infty,\frac{a+b}{2}[$ dénombrable car $\frac{a+b}{2}<a$
$E=E\cap]-\infty,\frac{a+b}{2}[ \, \bigcup \, E\cap]\frac{a+b}{2},+\infty[$ "à $\frac{a+b}{2}$ près"
Contradiction

Cas 3 : $a=b$
(je suis encore moins sûr de ma rédaction pour ce cas)
Par propriété de la borne supérieure,
$\exists (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \in A^\mathbb{N}$ tel que $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty} x_n =a}$
On fixe une telle suite et on a
$\displaystyle{\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \, E\cap]-\infty,x_n[ \,=E\cap ]-\infty,a[}$
Donc $E\cap ]-\infty,a[$ est dénombrable (union dénombrable d'ensembles dénombrables)
On fait de même pour montrer que $E\cap ]b,+\infty[$ est dénombrable
Comme $a=b$, $E$ est union de deux ensembles dénombrables "à $a$ près".
Contradiction

M'enfin tout ça me semble un peu lourd. Qu'en pensez vous ?
(Je ne suis même pas sûr de ma rédaction et si quelqu'un(e) y trouve des erreurs, je suis preneur)

Edit : j'ai corrigé les "indénombrable", merci Poirot

La négation de "dénombrable" est bien "non dénombrable" ?
Si je veux montrer l'existence d'un réel $x$, tel que $E\cap]-\infty,x[$ et $E\cap]x,+\infty[$ soient non dénombrables.
La négation est bien :
$$\forall x\in\mathbb{R}, E\cap]-\infty,x[ \, est \, dénombrable \, ou \, E\cap]x,+\infty[ \, est \, dénombrable \, (1)$$
Non ?
Ainsi si j'ai
$$\forall x\in\mathbb{R}, E\cap]-\infty,x[ \, est \, non \, dénombrable$$
En utilisant la propriété (1), j'obtiens :
$$\forall x\in\mathbb{R}, E\cap]x,+\infty[ \, est \, dénombrable$$