topologie : base de voisinages

À ce qui parait j'ai écrit un paragraphe plein de conneries :-S

L0 : Ok un voisinage de $x$ c'est un ensemble (d'un espace topologique) contenant un ouvert qui contient $x$.
L1 : $\{x\}$ est-il voisinage de $x$ ? cette question est équivalente à $\{x\}$ contient-il un ouvert contenant $x$ ?
L2 : Or , $\{x\}$ ne contient que lui même et l'ensemble vide, l'ensemble vide ne peut pas être un voisinage car il ne contient rien.
L3: seule solution possible donc $\{x\}$ est un ouvert
L4: Donc $\{x\}$ appartient à la topologie $T$

La connerie se situe où exactement ?

il est un ouvert (par définition) s'il appartient à la topologie $T$ non ? si c'est une topologie discrète, oui. Mais je ne sais pas en généralité comment ça se passe.

Donc dans ton exemple, $\{x\}$ est un système fondamental de voisinages de $x$ mais si $T =\{ \{x,y\} E, \emptyset \}$, $\{x\}$ n'est pas un système fondamental de voisinages de $x$.

Pour la L1 : $\{x\}$ est un voisinage de $x$ si et seulement si il est ouvert.
Pour la L2 : qu'est ce qui est faux exactement ?

Oui je vois l'erreur logique, le fait de poser la question dans la ligne L1 ne donne pas la conclusion en L3. C'est bizarre oui !
Je réécris donc :
L0 : Ok un voisinage de $x$ c'est un ensemble (d'un espace topologique) contenant un ouvert qui contient $x$.
L1 : $\{x\}$ est-il voisinage de x ? cette question est équivalente à $\{x\}$ contient-il est-il un ouvert contenant $x$ (c'est évident qu'il le contient) ?
L2 : Or , {x} ne contient que lui même et l'ensemble vide, l'ensemble vide ne peut pas être un voisinage car il ne contient rien.
L3:Or, $\{x\}$est un ouvert si, par définition $\{x\}$ appartient à la topologie $T $
L4 : conclusion : $\{x\}$ est voisinage de $x$ si et seulement si $\{x\}$ est un ouvert, ie $\{x\} \in T$