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Classe de similtude réelle fermée

Envoyé par MrJ 
MrJ
Classe de similtude réelle fermée
il y a deux années
Bonjour
Je cherche à montrer le résultat suivant

Proposition: Soit $M\in M_n(\R)$. La classe de similitude réelle de $M$ est fermée dans $M_n(\R)$ si et seulement si $M$ est diagonalisable dans $M_n(\C)$.

J'arrive à démontrer la réciproque en utilisant le résultat du cas complexe.

Je bloque sur comment démontrer le sens direct : si la classe de similitude réelle de $M$ est fermée, alors $M$ est diagonalisable dans $M_n(\C)$.

Merci pour vos pistes ou vos idées!

NB: Si quelqu'un avait une formulation pour l'adhérence d'une classe de similitude en général, je suis preneur.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Classe de similtude réelle fermée
il y a deux années
Supposons que $M$ ne soit pas diagonalisable sur $\C$, c'est que $\ker(M-\lambda I)\ne\ker(M-\lambda I)^2$ pour une valeur propre $\lambda$ au moins. Si $\lambda$ est réelle, tout se passe comme dans le cas complexe. Sinon, vu que $M$ est réelle, on choisit deux vecteurs complexes $u$ et $v$ tels que $Mu=\lambda u+v$ et $Mv=\lambda v$. Avec les parties réelles et imaginaires de $u$ et $v$ (composante par composante), on forme une famille libre de $4$ vecteurs. Disons que $u=u_1+iu_2$ et $v=v_1+iv_2$. Pour me simplifier la vie, je suppose que l'espace est de dimension $4$. En écrivant l'application linéaire sous-jacente dans la base $(u_1,tv_1,u_2,tv_2)$, on obtient une matrice semblable à $M$ qui, lorsque $t$ tend soit vers zéro, soit vers l'infini, a une limite en-dehors de la classe de similitude de $M$.
MrJ
Re: Classe de similtude réelle fermée
il y a deux années
Merci pour ta réponse. thumbs down
En fait, on part de la forme de Jordan complexe, puis on revient dans les réels en rassemblant les vecteurs conjuguées.
Re: Classe de similtude réelle fermée
il y a deux années
Oui, c'est l'idée. L'idéal serait d'avoir une forme normale de Jordan par blocs, ce qui existe mais bon...
Cela dit, il reste du travail.
MrJ
Re: Classe de similtude réelle fermée
il y a deux années
J'ai trouvé ce lien où on donne une forme de Jordan toujours valable dans les réels (Théorème 5, Page 6).
Document
Re: Classe de similtude réelle fermée
il y a deux années
Bon, d'accord, ce n'est pas un secret d'État... La question est de savoir si on peut se passer d'un énoncé général de ce genre.
Re: Classe de similtude réelle fermée
il y a deux années
avatar
@MrJ : je ne vois pas à quel endroit tu as besoin de Jordan. Avec l'astuce de Math Coss, ne suffit-il pas de savoir que toute matrice nilpotente $N$ est semblable à une matrice strictement triangulaire supérieure ?
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