Classe de similtude réelle fermée
Bonjour
Je cherche à montrer le résultat suivant
Proposition: Soit $M\in M_n(\R)$. La classe de similitude réelle de $M$ est fermée dans $M_n(\R)$ si et seulement si $M$ est diagonalisable dans $M_n(\C)$.
J'arrive à démontrer la réciproque en utilisant le résultat du cas complexe.
Je bloque sur comment démontrer le sens direct : si la classe de similitude réelle de $M$ est fermée, alors $M$ est diagonalisable dans $M_n(\C)$.
Merci pour vos pistes ou vos idées!
NB: Si quelqu'un avait une formulation pour l'adhérence d'une classe de similitude en général, je suis preneur.
Je cherche à montrer le résultat suivant
Proposition: Soit $M\in M_n(\R)$. La classe de similitude réelle de $M$ est fermée dans $M_n(\R)$ si et seulement si $M$ est diagonalisable dans $M_n(\C)$.
J'arrive à démontrer la réciproque en utilisant le résultat du cas complexe.
Je bloque sur comment démontrer le sens direct : si la classe de similitude réelle de $M$ est fermée, alors $M$ est diagonalisable dans $M_n(\C)$.
Merci pour vos pistes ou vos idées!
NB: Si quelqu'un avait une formulation pour l'adhérence d'une classe de similitude en général, je suis preneur.
Réponses
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Supposons que $M$ ne soit pas diagonalisable sur $\C$, c'est que $\ker(M-\lambda I)\ne\ker(M-\lambda I)^2$ pour une valeur propre $\lambda$ au moins. Si $\lambda$ est réelle, tout se passe comme dans le cas complexe. Sinon, vu que $M$ est réelle, on choisit deux vecteurs complexes $u$ et $v$ tels que $Mu=\lambda u+v$ et $Mv=\lambda v$. Avec les parties réelles et imaginaires de $u$ et $v$ (composante par composante), on forme une famille libre de $4$ vecteurs. Disons que $u=u_1+iu_2$ et $v=v_1+iv_2$. Pour me simplifier la vie, je suppose que l'espace est de dimension $4$. En écrivant l'application linéaire sous-jacente dans la base $(u_1,tv_1,u_2,tv_2)$, on obtient une matrice semblable à $M$ qui, lorsque $t$ tend soit vers zéro, soit vers l'infini, a une limite en-dehors de la classe de similitude de $M$.
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Merci pour ta réponse. (tu)
En fait, on part de la forme de Jordan complexe, puis on revient dans les réels en rassemblant les vecteurs conjuguées. -
Oui, c'est l'idée. L'idéal serait d'avoir une forme normale de Jordan par blocs, ce qui existe mais bon...
Cela dit, il reste du travail. -
Bon, d'accord, ce n'est pas un secret d'État... La question est de savoir si on peut se passer d'un énoncé général de ce genre.
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Bonjour!
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