Classe de similtude réelle fermée

Supposons que $M$ ne soit pas diagonalisable sur $\C$, c'est que $\ker(M-\lambda I)\ne\ker(M-\lambda I)^2$ pour une valeur propre $\lambda$ au moins. Si $\lambda$ est réelle, tout se passe comme dans le cas complexe. Sinon, vu que $M$ est réelle, on choisit deux vecteurs complexes $u$ et $v$ tels que $Mu=\lambda u+v$ et $Mv=\lambda v$. Avec les parties réelles et imaginaires de $u$ et $v$ (composante par composante), on forme une famille libre de $4$ vecteurs. Disons que $u=u_1+iu_2$ et $v=v_1+iv_2$. Pour me simplifier la vie, je suppose que l'espace est de dimension $4$. En écrivant l'application linéaire sous-jacente dans la base $(u_1,tv_1,u_2,tv_2)$, on obtient une matrice semblable à $M$ qui, lorsque $t$ tend soit vers zéro, soit vers l'infini, a une limite en-dehors de la classe de similitude de $M$.

Oui, c'est l'idée. L'idéal serait d'avoir une forme normale de Jordan par blocs, ce qui existe mais bon...
Cela dit, il reste du travail.

Bon, d'accord, ce n'est pas un secret d'État... La question est de savoir si on peut se passer d'un énoncé général de ce genre.