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Connexité d'une classe de similitude réelle

Envoyé par MrJ 
MrJ
Connexité d'une classe de similitude réelle
il y a deux années
Bonjour,

pour terminer mon périple dans l'étude de la topologie d'une classe de similitude réelle, j'essaye d'étudier leur connexité. On a le résultat suivant.

Proposition : Soit $M\in M_n(\R)$. La classe de similitude réelle $S_\R(M)$ est connexe par arcs si et seulement si il existe une matrice $P\in \textrm{Com}(M)$ telle que $\det(M)<0$.

La réciproque ne me pose pas de difficulté. Pour la démonstration du sens direct, il faut considérer l'application $\varphi: \textrm{GL}_n(\R)\to S_\R(M)$ définie par $\varphi(P)=PMP^{-1}$. On en déduit une application bijective et continue $\bar{\varphi}:\textrm{GL}_n(\R)/\textrm{Com}(M)\to S_\R(M)$.

Dans la source que j'ai trouvé, le point clés est de montrer que $\bar{\varphi}$ est un homéomorphisme, ce qui revient à montrer que $\varphi$ est une application ouverte. Pour cela, l'auteur utilise un théorème général :

Théorème: Si $G$ est un groupe topologique localement compact et dénombrable à l'infini agissant continument et transitivement sur un espace localement compact, alors l'application $G/\textrm{stab}(x)\to\textrm{Orb}(x)$ est un homéomorphisme.

Dans ce cadre particulier, peut-on éviter l'utilisation de ce théorème général? N'y aurait-il pas une démonstration simple du fait que $\bar{\varphi}$ est un homéomorphisme (ou une autre démonstration du sens direct).

Merci pour vos idées!



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par MrJ.
Re: Connexité d'une classe de similitude réelle
il y a deux années
C'est pourtant bien l'enjeu. Vu que $G^+=\{g\in\mathrm{GL}_n(\R),\ \det(g)>0\}$ est connexe et d'indice $2$ dans $\mathrm{GL}_n(\R)$, la classe de similitude de $M$ a au plus deux composantes connexes. Mais la réunion pourrait être connexe. Pense, dans le plan, à la réunion de la droite $x=0$ et de la demi-droite $\{(t,0),\ t>0\}$. Pour séparer les deux composantes, on a besoin d'une propriété du genre « application ouverte ».

On peut obtenir le "T" de l'exemple précédent en recollant une droite et une demi-droite. Prenons
\[D=\{(x,y)\in\R^2, x=0\},\quad\Delta=\{(t+1,0),\ t>0\},\quad X=D\cup\Delta\quad\text{et}\quad f:(x,y)\mapsto\begin{cases}(x,y)&\text{si $(x,y)\in D$}\\(x-1,0)&\text{si $(x,y)\in\Delta$.}\end{cases}\] Cette application n'est pas ouverte parce que l'image d'un voisinage de $(0,0)$ n'est pas un voisinage de l'image (il manque la partie "horizontale" d'un voisinage de $(0,0)$).
MrJ
Re: Connexité d'une classe de similitude réelle
il y a deux années
Merci pour cet exemple. Il semblerait en effet qu'il soit difficile/impossible d'échapper à l'utilisation de ce théorème.

J'ai trouvé une démonstration de ce dernier (Voir page 7).

J'essayais de rédiger la démonstration de la non connexité en restant au niveau du programme de l'agrégation pour les étudiants, mais en même temps, j'utilise la topologie quotient qui n'y figure pas... Je semble donc être dans une impasse.
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