Connexité d'une classe de similitude réelle

Bonjour,

pour terminer mon périple dans l'étude de la topologie d'une classe de similitude réelle, j'essaye d'étudier leur connexité. On a le résultat suivant.

Proposition : Soit $M\in M_n(\R)$. La classe de similitude réelle $S_\R(M)$ est connexe par arcs si et seulement si il existe une matrice $P\in \textrm{Com}(M)$ telle que $\det(M)<0$.

La réciproque ne me pose pas de difficulté. Pour la démonstration du sens direct, il faut considérer l'application $\varphi: \textrm{GL}_n(\R)\to S_\R(M)$ définie par $\varphi(P)=PMP^{-1}$. On en déduit une application bijective et continue $\bar{\varphi}:\textrm{GL}_n(\R)/\textrm{Com}(M)\to S_\R(M)$.

Dans la source que j'ai trouvé, le point clés est de montrer que $\bar{\varphi}$ est un homéomorphisme, ce qui revient à montrer que $\varphi$ est une application ouverte. Pour cela, l'auteur utilise un théorème général :

Théorème: Si $G$ est un groupe topologique localement compact et dénombrable à l'infini agissant continument et transitivement sur un espace localement compact, alors l'application $G/\textrm{stab}(x)\to\textrm{Orb}(x)$ est un homéomorphisme.

Dans ce cadre particulier, peut-on éviter l'utilisation de ce théorème général? N'y aurait-il pas une démonstration simple du fait que $\bar{\varphi}$ est un homéomorphisme (ou une autre démonstration du sens direct).

Merci pour vos idées!