Sous-espace vectoriel d'intérieur vide

anthomedal
anthomedal
dans Topologie
Bonjour tout le monde, soit $E$ un espace de Banach de dimension infinie. On suppose par l'absurde que $E$ a une base (algébrique) dénombrable, soit $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une telle base, on note pour $n \in \mathbb{N}$ $$F_n=Vect(e_1,\ldots,e_n)
$$ On sait que, comme $F_n$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie, il est fermé. Comment montrer (ou voir) que $F_n$ est d'intérieur vide ? Merci !

Réponses

  • Magnolia
    Magnolia
    Bonjour

    Si $F_n$ a un intérieur non vide, il contient une boule de $E$ de centre $0$. Montre que dans ce cas il contient des vecteurs colinéaires à $e_k$ pour tout $k$.

    Remarque la démonstration est valable même en dimension finie. L'intérieur d'un sous-espace d' un espace normé de dimension finie est vide, sauf si le sous-espace est égal à $E$.
  • anthomedal
    anthomedal
    Pourquoi dans ce cas l'intérieur contiendrait le vecteur nul ?
    En fait c'est une partie d'une preuve que j'essaie de faire dans un livre ! Et dans cette preuve on a un espace de dimension infinie etc... ;)
  • Magnolia
    Magnolia
    L'intérieur contient une boule de centre mettons $a$ et de rayon $r$. La translation par $-a$ est un homéomorphisme dont l'image est la boule de centre $0$ et est contenus dans l'espace (pourquoi?)
  • Chaurien
    Chaurien
    Si une boule est incluse dans un sous-espace vectoriel, son symétrique par rapport à 0 l'est aussi, et la somme de ces deux boules l'est aussi. Or cette somme est une boule de centre 0 (et de rayon double). Pas d'homéomorphisme là-dedans, c'est purement algébrique. Donc toute boule de centre 0 est incluse dans le sous-espace. Ceci est vrai dans tout espace vectoriel normé, complet ou non, de dimension finie ou non.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • anthomedal
    anthomedal
    Je suis plutot d'accord avec Chaurien, je ne cois pas que ce soit topologique, mais oui un sev est stable par translation, donc la boule centrée sur 0 est dans $F$, comme il est stable par homothétie de rapport $\lambda >0$ arbitrairement grand, il est égal à $E$, donc si on suppose qu'il n'est pas égal à $E$, c'est qu'il est d'intérieur vide. Merci pour votre aide ! Bonne soirée !
  • millie
    millie
    @anthomedal C'est normal que tu parles de base pour un evn de dimension infinie ? Ta famille ne serait-elle pas simplement libre ?

    edit : Ok, tu fais ça pour démontrer que pour tout espace de Banach de dimension infinie, l'evn ne possède pas de base algébrique dénombrable....
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Ben dans un espace vectoriel topologique, un sous-espace vectoriel est ouvert si et seulement s'il est d'intérieur non vide (la démonstration est la même que celle donnée par Magnolia). Dans tout groupe topologique, un sous-groupe ouvert est automatiquement fermé.
    Et tout espace vectoriel topologique est connexe car connexe par arcs.
    Donc un sous-espace d'un espace vectoriel topologique ne peut être d'intérieur non vide que si c'est l'espace tout entier.
  • flissahlam
    flissahlam
    Bonsoir svp comment montrer qu'un espace propre est d'intérieur vide ?
  • Poirot
    Poirot
    C'est faux si ton endomorphisme est l'identité.
  • raoul.S
    raoul.S
    @flissahlam si tu notes $F$ ton espace propre et que tu prends un vecteur $v\in F$ et un vecteur $u\not\in F$ alors pour tout $\lambda >0$, $v+\lambda u\not\in F$. Donc aucun voisinage ouvert de $v$ n'est contenu dans $F$.

    @Poirot tu parles de quel endomorphisme ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Comme Poirot, j'avais pris "propre" dans le sens qu'il a dans "vecteur propre"; fallait-il comprendre "sous-espace strict ?

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    Ah oui j'ai effectivement interprété "espace propre" comme "espace associé à une valeur propre".
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