Sous-espace vectoriel d'intérieur vide
dans Topologie
Bonjour tout le monde, soit $E$ un espace de Banach de dimension infinie. On suppose par l'absurde que $E$ a une base (algébrique) dénombrable, soit $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une telle base, on note pour $n \in \mathbb{N}$ $$F_n=Vect(e_1,\ldots,e_n)
$$ On sait que, comme $F_n$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie, il est fermé. Comment montrer (ou voir) que $F_n$ est d'intérieur vide ? Merci !
$$ On sait que, comme $F_n$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie, il est fermé. Comment montrer (ou voir) que $F_n$ est d'intérieur vide ? Merci !
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Réponses
Si $F_n$ a un intérieur non vide, il contient une boule de $E$ de centre $0$. Montre que dans ce cas il contient des vecteurs colinéaires à $e_k$ pour tout $k$.
Remarque la démonstration est valable même en dimension finie. L'intérieur d'un sous-espace d' un espace normé de dimension finie est vide, sauf si le sous-espace est égal à $E$.
En fait c'est une partie d'une preuve que j'essaie de faire dans un livre ! Et dans cette preuve on a un espace de dimension infinie etc...
Bonne soirée.
Fr. Ch.
edit : Ok, tu fais ça pour démontrer que pour tout espace de Banach de dimension infinie, l'evn ne possède pas de base algébrique dénombrable....
Et tout espace vectoriel topologique est connexe car connexe par arcs.
Donc un sous-espace d'un espace vectoriel topologique ne peut être d'intérieur non vide que si c'est l'espace tout entier.
@Poirot tu parles de quel endomorphisme ?
Comme Poirot, j'avais pris "propre" dans le sens qu'il a dans "vecteur propre"; fallait-il comprendre "sous-espace strict ?
Cordialement.